1 . 如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为的中点，过点E与平行的直线交射线于点N．

(1)当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为的中点；
(2)将图1中的绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形；
(3)将图1中绕点B旋转到图3位置时，当A、B、N三点在同一直线上时（如图3）（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

2 . 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)证明四边形是菱形．

3 . 在中，，，直线经过点A，且，，
       
             
(1)当直线绕点A旋转到图1的位置时，求证：；
(2)当直线绕点A旋转到图2的位置时，试问，，具有怎样的等量关系，写出这个等量关系．并加以证明．

4 . 如图，中，点分别为的中点，连接并延长到点，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)当满足什么条件时，矩形是正方形？证明你的结论．

5 . 如图，在中，，于点E，BE=AE，是的角平分线，和相交于点P，和边交于点D，点F是边的中点，连结，交于点Q，连结．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)判断的形状，并证明你的结论．

6 . 已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．

(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：
①如图1，若，，求证：；
②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．

7 . 如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．

8 . 如图1，在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧， 直线a于点M，直线a于点N，连接、；

(1) 延长交于点E(如图2)．①求证：；②求证：；
(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变．此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3) 若直线a绕点A旋转到与边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由．

9 . 某学习小组在学习时遇到了下面的问题：
如图，在和中，，，点，，在同一直线上，连接，是的中点，连接，，试判断的形状并说明理由．

问题探究
（）小婷同学提出解题思路：先探究的两条边是否相等，如．以下是她的证明过程：
请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图上作出证明中所描述的辅助线．
②在证明的括号中填写理由（请在，，，中选择）．
证明：延长线段交的延长线于点G．
∵F是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴
又∵，
∴（       ）．
∴，
∴．
问题拓展
在（）在探究结论的基础上，请你帮助小婷求出的度数，并判断的形状．

10 . （1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；
      
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由．