1 . 问题提出
（1）如图1，在中，，，求面积的最大值；
问题探究
（2）如图2，在中，，，，点P是边上一点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，得线段，过点E作交于点H，求的长．

2 . （1）如图①，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且于点于点，证明：；
（2）迁移应用：如图②，点在的边、上，点在内部的射线上，分别是的外角，已知，猜想与的关系，并说明理由．

3 . 如图，在中，点是边的中点，过点作直线，使，交的延长线于点．试说明的理由．

4 . 如图，已知于点B，于点A，点E是的中点，连接并延长交于点F，，则的长为 __．

5 . 如图，已知，E为的中点，若，则_______．
   

6 . 某学习小组在学习时遇到了下面的问题：
如图，在和中，，，点，，在同一直线上，连接，是的中点，连接，，试判断的形状并说明理由．

问题探究
（）小婷同学提出解题思路：先探究的两条边是否相等，如．以下是她的证明过程：
请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图上作出证明中所描述的辅助线．
②在证明的括号中填写理由（请在，，，中选择）．
证明：延长线段交的延长线于点G．
∵F是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴
又∵，
∴（       ）．
∴，
∴．
问题拓展
在（）在探究结论的基础上，请你帮助小婷求出的度数，并判断的形状．

7 . 如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．

(1)试猜想四边形的形状，并证明你的猜想；
(2)若，，求四边形的面积．

8 . 如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线交的延长线于点D，延长至点E，使得，过点C作于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

9 . 如图，已知．

(1)请用尺规作图作出的平分线交于点；
(2)请用尺规作图作出线段的垂直平分线交于点，交于点；
(3)连接和，直接写出四边形的形状．

10 . 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．