1 . 【实践操作】
在矩形
中，
，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为
（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，若点P落在矩形的边
上（如图①所示），当点P与点A重合时，
；当E与点A重合时，
；
【初步思考】
当点E在上，点F在
上时（如图②所示），求证：四边形
为菱形；
【深入探究】
当点P落在矩形的内部（如图③所示），且点E、F分别在
边上时，则
的最小值为 ；
【拓展延伸】
若点F与点C重合（如图④所示），点E在
上，线段
与线段
交于点M，
，则线段
的长为 ．
在矩形
中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，若点P落在矩形的边上（如图①所示），当点P与点A重合时，；当E与点A重合时，；【初步思考】
当点E在
上，点F在上时（如图②所示），求证：四边形为菱形；【深入探究】
当点P落在矩形
的内部（如图③所示），且点E、F分别在边上时，则的最小值为 ；【拓展延伸】
若点F与点C重合（如图④所示），点E在
上，线段与线段交于点M，，则线段的长为 ．
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名校
2 . 如图所示，矩形的对角线
和
相交于点
，过点的直线分别交和
于点
、
，
，
，则图中阴影部分的面积为 _____ ．
的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 
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2024-05-13更新
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153次组卷
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48卷引用：吉林省吉林市磐石市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
吉林省吉林市磐石市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题北京市人大附中西山学校2022-2023学年八年级下学期数学统练3（3月考）（已下线）第9章 中心对称图形-平行四边形 单元检测卷（A卷）-2022-2023学年八年级数学下册《同步考点解读·专题训练》（苏科版）北京市北京交通大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷广东省岭南师范学院附属中学、湛江市东方实验学校 2022-2023学年八年级下学期期中数学试题2014届广东揭阳揭西张武帮中学九年级上第三次月考数学卷B2015届甘肃省白银市会宁县九年级上学期期末考试数学试卷2015届四川中江县继光实验学校九年级上期末模拟考试数学试卷2014-2015学年山东东平斑鸠店中学八年级下学期第一次月考数学试卷2015-2016学年江西省宜春市丰城中学八年级上学期期末数学试卷2015-2016学年江苏省东台市七校八年级下第一次质检数学试卷2016-2017学年山东省临沂市临沭县八年级下学期期中考试数学试卷2016-2017学年湖南省张家界市永定区八年级下学期期中考试数学试卷湖北省武汉市汉阳区2015-2016学年八年级下学期期中考试数学试题北京海淀人大附2016-2017学年八年级下学期期中考试数学试题内蒙古呼伦贝尔市根河一中2017-2018学年八年级下学期期中考试数学试题北师大版数学上册_九年级_第一章_特殊平行四边形_单元评估测试卷沪科版八年级下册 第19章《四边形》单元测试（四）北师大版九年级数学上册_第一章特殊平行四边形_单元检测试卷（已下线）《四边形》单元测试卷冀教版数学八年级下册湖北省武汉市第十四中学2018-2019学年度第二学期八年级下册期中数学试题四川省成都市金牛区2018-2019学年八年级下学期期末数学试题北师大版九年级上册 第一章核心素养评价卷山东省乐陵市2018-2019学年八年级下学期期中数学试题山东省枣庄市山亭区2019年九年级上学期期中数学试题山东省枣庄市山亭区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题浙江省温岭市2019--2020学年八年级下学期期末数学试题广西壮族自治区钦州市钦北区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题甘肃省庆阳市镇原县2019-2020学年八年级下学期期末数学试题黑龙江鸡西虎林市2019-2020学年八年级下学期期末数学试题广东省高州市第八中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题（B）（已下线）18.2.1 矩形-2020-2021学年八年级数学下册十分钟同步课堂专练（人教版）（已下线）3、矩形（题型篇）黑龙江省鹤岗市萝北县2020-2021学年八年级下学期期末数学试题广西壮族自治区南宁市横县2020-2021学年八年级下学期期末数学试题黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校2020-2021学年八年级下学期期中数学试题广西壮族自治区南宁市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题辽宁省大连市普兰店区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题江西省吉安市吉水县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题湖北省仙桃荣怀学校2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题广东湛江经济技术开发区第四中学2021-2022学年八年级下学期数学期中试题（已下线）九年级数学上学期开学摸底考试卷（人教版）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（人教版）河南省开封市祥符区集慧初级中学2022-2023学年九年级上学期网课学情调研数学试题辽宁省沈阳市新民市实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题湖北省恩施土家族苗族自治州建始县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题（已下线）专题06 特殊的平行四边形【六大题型】-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（北京专用）北京亦庄实验中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题湖北省恩施土家族苗族自治州咸丰县清坪镇民族初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
3 . 如图，在菱形中，
，
，点
从点
出发，以
的速度沿
运动，过点作射线的垂线，交射线于点
，在点运动过程中，设运动时间为
，
与菱形重叠部分的面积为
．
的长（用含的式子表示）．
(2)当
平分菱形面积时，求的值．
(3)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为．
的长（用含的式子表示）．(2)当
平分菱形面积时，求的值．(3)求
与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
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2024-05-07更新
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56次组卷
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2卷引用：2023年吉林油田第十二中学初三第五次模拟考试数学模拟预测试题
4 . 【问题情境】
如图1，点为正方形内一点，
，将
绕点
按顺时针方向旋转
，得到
（点的对应点为点
），延长交
于点，连接
．
（1）四边形
的形状是_________；
【解决问题】
（2）若
，
，则正方形的面积为_________；
【猜想证明】
（3）如图2，若
，请猜想线段
与
的数量关系并加以证明．
如图1，点
为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．（1）四边形
的形状是_________；【解决问题】
（2）若
，，则正方形的面积为_________；【猜想证明】
（3）如图2，若
，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
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5 . 如图，在
中，对角线，交于点O，E是上一点，连接
并延长，交于点F．连接
，
，平分
．求证：四边形
是菱形．
中，对角线，交于点O，E是上一点，连接并延长，交于点F．连接，，平分．求证：四边形是菱形．
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6 . 如图，在
中，
，
，若
，求证：
．
中，，，若，求证：．
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名校
7 . 如图，在中，E是
的中点，连接并延长交的延长线于点F．
；
(2)若
，
．求
的度数．
中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．
；(2)若
，．求的度数．
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2024-05-03更新
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173次组卷
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6卷引用：吉林省长春市第八十七中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
吉林省长春市第八十七中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题江苏省东台市第五教育联盟2022-2023学年九年级下学期第一次月质量检测数学试题（已下线）数学（人教版A卷）-学易金卷：2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷（安徽专用）浙江省宁波市宁海县北片2022-2023学年八年级下学期期中数学试题江苏省盐城市东台市第二教育联盟2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（已下线）第四章 平行四边形达标测试卷-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）
解题方法
8 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．中，
分别是、边上的点，且
．求证：
．
证明：如图，将
绕点
逆时针旋转，得到
，则
．
四边形是正方形，
，
．
．
又
，
点
在一条直线上．
＿＿＿，
＿＿＿
．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为
，
，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，
．
设
，则
．
在
中，由
，解得
＿＿＿，即
＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，
，是边上的点，且
，则
＿＿＿．
（3）如图③，在中，
，为边上的高．若
，则的长为＿＿＿．
中，分别是、边上的点，且．求证：．证明：如图，将
绕点逆时针旋转，得到，则．四边形是正方形，，．．又
，点在一条直线上．＿＿＿，＿＿＿．【探究】（1）在图①中，若正方形
的边长为，，其他条件不变，求的长．解：
正方形的边长为，．设
，则．在
中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．（2）如图②，在四边形
中，，是边上的点，且，则＿＿＿．（3）如图③，在
中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．
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9 . 在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作
，交射线于点F，以、为邻边作矩形
，连接
．
，则的长度为____________；
【探究】如图②当点F在边上时．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求
的度数．
中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接．
，则的长度为____________；【探究】如图②当点F在边
上时．（1）求证：矩形
是正方形；（2）求
的度数．
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10 . 【感知】如图①，若
，易证
（不用证明）；
【探究】如图②，正方形和正方形
的边
在同一条直线上，点
在上，
相交于点
，求证：
；
【应用】如图③，在“探究”的条件下，连接
，若
，则
_______．
，易证（不用证明）；【探究】如图②，正方形
和正方形的边在同一条直线上，点在上，相交于点，求证：；【应用】如图③，在“探究”的条件下，连接
，若，则_______．
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