1 . 如图
，在
中，
于点
，
，
，过点
作
于点
，交
于点
．
(1)求线段
的长度；(2)连接
，求证：
；(3)如图
，若点
为
的中点，点
为线段延长线上一动点，连接
，过点作
交线段
延长线于
点，则
的值是否发生改变？如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
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2 . 如图1，在中，于点O，
，过点A作于点H，交于点P．
(1)求线段的长度；
(2)连接，求
的度数；
(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
中，于点O，，过点A作于点H，交于点P．(1)求线段
的长度；(2)连接
，求的度数；(3)如图2，若点D为
的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
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3 . 已知点A在x轴正半轴上，以为边作等边
，
，其中
．
(1)求点A的坐标；
(2)如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边
，连DB并延长交y轴于点E，求
的度数；
(3)如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接
，以为边在第一象限内作等边
，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，
的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
为边作等边，，其中．(1)求点A的坐标；
(2)如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边
，连DB并延长交y轴于点E，求的度数；(3)如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接
，以为边在第一象限内作等边，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
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2023-01-23更新
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108次组卷
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2卷引用：河南省洛阳市涧西区第五十六中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
4 . 数学课上，老师出示了如下的题目：
“在等边三角形
中，点
在上，点在
的延长线上，且
，如图，试确定线段
与
的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“
”，“
”或“
”）．
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：______（填“”，“”或“”）．理由如下：如图，过点作
，交
于点
．（请你完成以下解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上，点在直线
上，且．若的边长为，
，求
的长（请你直接写出结果）．
“在等边三角形
中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点
为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”，“”或“”）． (2)特例启发，解答题目
解：题目中，
与的大小关系是：______（填“”，“”或“”）．理由如下：如图，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程） (3)拓展结论，设计新题
在等边三角形
中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）．
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2023-11-07更新
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115次组卷
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2卷引用：天津市和平区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
5 . 如图，在平面直角坐标系中，直线
与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A在第二象限内作AC⊥AB，且AC＝AB.
(1)如图1，① 求线段AB的长度；
② 设直线BC的解析式为y＝kx+b，直接写出关于x的不等式kx+b＞
的解集；
(2)如图2，将△ ABC向右平移得到
，点A的对应点
始终在x轴上，当点C的对应点
落在直线上，求的坐标.
与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A在第二象限内作AC⊥AB，且AC＝AB.(1)如图1，① 求线段AB的长度；
② 设直线BC的解析式为y＝kx+b，直接写出关于x的不等式kx+b＞
的解集；(2)如图2，将△ ABC向右平移得到
，点A的对应点始终在x轴上，当点C的对应点落在直线上，求的坐标.
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2022-09-18更新
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122次组卷
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4卷引用：难点特训（二）和一元一次不等式（组）有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）
（已下线）难点特训（二）和一元一次不等式（组）有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）（已下线）期中押题预测卷（2）（考试范围：第1-4章）-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）四川省成都市郫都区2021-2021学年八年级下学期期中数学试题（已下线）专题4.4 一次函数的应用（能力提升）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（北师大版）
名校
6 . 如图，将一三角板放在边长为1的正方形
上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线
相交于Q，探究；设A、P两点间的距离为
．
(1)当点Q在边上时，线段
与
之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
(2)当点Q在边上时，设四边形
的面积为
，求与之间的函数关系，并写出函数自变量的取值范围；
(3)当点P在线段上滑动时，
是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值，如果不可能．
上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线相交于Q，探究；设A、P两点间的距离为． (1)当点Q在边
上时，线段与之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q在边
上时，设四边形的面积为，求与之间的函数关系，并写出函数自变量的取值范围；(3)当点P在线段
上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值，如果不可能．
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7 . 如图，已知在
中， 
， 
，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为上一点， 
，过点E作
，垂足为点G，交射线于点F．
(1)如果点D为边的中点，求
的正切值；
(2)当点F在边上时，设
，
，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
(3)连接
，如果
与
相似，求线段的长．
中， ， ，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为上一点， ，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．(1)如果点D为边
的中点，求的正切值；(2)当点F在边
上时，设，，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；(3)连接
，如果与相似，求线段的长．
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2023-04-14更新
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192次组卷
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11卷引用：上海市徐汇区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷（一模）
上海市徐汇区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷（一模）（已下线）黄金卷01-【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（上海专用）（已下线）2023年上海市一模(几何综合）上海市长宁区华政附中2023-2024学年九年级上学期期中数学试题上海市杨浦区2020-2021学年九年级上学期质量调研数学试题（一模）上海市杨浦区2020-2021学年初三上学期数学一模（已下线）考点14 代数几何综合问题(二)(运动型探究问题)-2021年《三步冲刺中考·数学》（上海专用）之第1步小题夯基础（已下线）热点04 一次方程（组）与二元二次方程（组）-2021年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）热点01 计算方程不等式问题-2021年《三步冲刺中考·数学》（上海专用）之第2步大题夺高分（已下线）上海卷05-2021年《三步冲刺中考·数学》（上海专用）之第3步中考热身卷2021年浙江省绍兴市越城区初中学业考试适应性测试数学试题
名校
8 . 如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A（a，0）、B(0，b)两点．
(1)若
＋b2－10b＋25＝0，判断△AOB的形状，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的长；
(3)如图③，若
即点A不变，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围．
(1)若
＋b2－10b＋25＝0，判断△AOB的形状，并说明理由；(2)如图②，在（1）的条件下，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的长；
(3)如图③，若
即点A不变，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围．
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2022-07-19更新
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210次组卷
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5卷引用：安徽省淮南市田家庵区龙湖中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题
名校
9 . 直线AB交x轴于点A(6，0)，交y轴于点B(0，6)．
（1）如图1，点M为AB的中点，点C在线段OA上，OM交BC于点F．
①求∠BOM的度数；
②如图2，若在线段AB上有点D，且满足BC⊥OD于点E，求证：
BOF≌OAD．
（2）如图3，当点C在线段OA的延长线上任一点时，以BC为边作等腰RtBCG，其中CB＝CG，直线GA交y轴于点H，当C在x轴上A点右侧运动时，线段OH的长度是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，求线段OH的取值范围．
（1）如图1，点M为AB的中点，点C在线段OA上，OM交BC于点F．
①求∠BOM的度数；
②如图2，若在线段AB上有点D，且满足BC⊥OD于点E，求证：
BOF≌OAD．（2）如图3，当点C在线段OA的延长线上任一点时，以BC为边作等腰Rt
BCG，其中CB＝CG，直线GA交y轴于点H，当C在x轴上A点右侧运动时，线段OH的长度是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，求线段OH的取值范围．
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10 . 【综合与实践】
问题情境：
如图1，在中，
，
为钝角，点D是的中点，
于点E，
于点F．试判断线段
与的数量关系，并说明理由．
探究展示：
小宇同学展示出如下正确的解法：
解： 1 （填写和的数量关系），理由如下：
点D是的中点，
是边上中线，
，
是的角平分线．（ 2 ）（填写结论依据）
，，
．
反思交流：
(1)完成上面解题过程的两个填空：①：____________________；②____________________；
(2)利用上述结论请继续探究线段与
的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，在图1的条件下，点M是射线
上一点，作
，射线
交线段
于点N，求线段
、
和之间的数量关系，并说明理由．
问题情境：
如图1，在
中，，为钝角，点D是的中点，于点E，于点F．试判断线段与的数量关系，并说明理由．探究展示：
小宇同学展示出如下正确的解法：
解： 1 （填写
和的数量关系），理由如下：点D是的中点，是边上中线，，是的角平分线．（ 2 ）（填写结论依据），，．反思交流：
(1)完成上面解题过程的两个填空：①：____________________；②____________________；
(2)利用上述结论请继续探究线段
与的数量关系，并说明理由；(3)如图2，在图1的条件下，点M是射线
上一点，作，射线交线段于点N，求线段、和之间的数量关系，并说明理由．
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