1 . 如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点、，连接、．

   

(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并证明；
(3)若，求的长．

3 . （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．

4 . 如图，在平行四边形中，点E在上，且．

(1)用直尺和圆规在上方作，使得，交于点F．
(2)求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，① ．
② ．
在与中，
，．
④ ．．

6 . 如图，在中，，平分交于点D，平分交AB于点E，、交于点F．
   
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)猜想、、之间的数量关系，并给予证明：
(4)若，直接写出的值．

8 . 是经过顶点C的一条直线，．E，F分别是直线上两点，且．

(1)若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题：
①如图1，若，，则___________；_________（填“>”，“＜”或“=”）；
②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件___________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
(2)如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

9 . 如图，在矩形中，，点在上，连接．

   

(1)过点作，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）．
(2)根据（1）中作图，求证：．
证明：四边形是矩形，
且．
，
①______．
．
，
．
在与中，，
②______．
③______．
，
．
④______．
．