1 . 如图，
和
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形，且
，分别作射线
、
，它们交于点
．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若
的长为2，则
面积的最小值是（ ）
和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
| A．4 | B．8 | C． | D． |
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2 . 如图，已知
，过点P作
，且
；再过点
作
；且
；又过点
作
且
；又过点
作
且
；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形
，
，
，
，……，它们的面积分别为
，
，
，
，……，那么
_________ ．
，过点P作，且；再过点作；且；又过点作且；又过点作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么
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3 . 如图，已知菱形
为
的中点，P为对角线上一点，则
的最小值等于（ ）
为的中点，P为对角线上一点，则的最小值等于（ ）
| A．1 | B．2 | C． | D．4 |
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4 . 项目化学习
项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道．
项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习．
（2）实地测量图书馆门口场地的大小；
（3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．
设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中
为地面所在水平线，
和
是无障碍通道，并且
，立柱
，
均垂直于地面，
米，
米．
解决问题：若原台阶坡道的长度（线段
的长度）为5米，坡角
的度数为
，
，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：
，
，
）
项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道．
项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习．
（2）实地测量图书馆门口场地的大小；
（3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．
设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中
为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱，均垂直于地面，米，米．解决问题：若原台阶坡道的长度（线段
的长度）为5米，坡角的度数为，，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：，，）
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5 . 如图，P为⊙O的直径
延长线上的一点，
为⊙O的切线，切点为C，
于D，连接
．平分
；
(2)若
，
，求⊙O的半径．
延长线上的一点，为⊙O的切线，切点为C，于D，连接．
平分；(2)若
，，求⊙O的半径．
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名校
6 . 根据以下素材，探索完成任务
| 探究纸伞中的数学问题 | ||
| 素材1 | 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢， 是伞柄，伞骨 且 ， ， ，D点为伞圈． | |
| 素材2 | 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到 的位置，且A、E、三点共线．测得 ， ，伞完全张开时 ，如图1所示（参考值： ）． | |
| 素材3 | 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线 与地面夹角为 ，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为 ，此时发现身上被雨淋湿，测得 ． | |
| 问题解决 | ||
| 任务1 | 判断位置 | 求证：平分 ． |
| 任务2 | 探究伞圈移动距离 | 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）． |
| 任务3 | 拟定撑伞方案 | 求伞至少向下移动距离  ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） |
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7 . 近年来，登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目，通过锻炼可以大大提升人们的身体素质，如图是南宁市大明山的某局部山体模拟图，段长度为
，矩形
和矩形
均为起步平台的横截面，点
在上，点
在
上，点
在上，经过现场测量得知
，
．为
，请判断亮亮的猜想是否正确？如果正确请说明理由，如果不正确，请求出正确的山体高；
(2)为加强攀登的安全性，若使得山体斜坡长
，请你求出此时山脚C应向外延伸多少m到点F．
段长度为，矩形和矩形均为起步平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知，．
为，请判断亮亮的猜想是否正确？如果正确请说明理由，如果不正确，请求出正确的山体高；(2)为加强攀登的安全性，若使得山体斜坡长
，请你求出此时山脚C应向外延伸多少m到点F．
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8 . 如图，矩形
的对角线交于点O，
，
，则矩形的面积是______ ．
的对角线交于点O，，，则矩形的面积是
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9 . 如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结
并延长，交于点
，若
，正方形和正方形
的面积分别记为
，则
的值为______ ；
的值为______ ．
．连结并延长，交于点，若，正方形和正方形的面积分别记为，则的值为的值为
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10 . 【问题情境】同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”
如图1，
，其中
，此时，点与点
重合．
【操作探究】（1）小明将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点
落在上，
所在直线交所在直线于点，连结
，直接写出线段与线段
的数量关系是 ．
【拓展应用】（2）小亮将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度
，线段和相交于点
，在操作中，小亮提出如下问题，请你解答：
①如图3，当
时，直接写出线段的长为 ；
②如图4，当旋转到点是边的中点时，求线段的长．
如图1，
，其中，此时，点与点重合．【操作探究】（1）小明将图1中的两个全等的
和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，直接写出线段与线段的数量关系是 ．【拓展应用】（2）小亮将图1中的
绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，小亮提出如下问题，请你解答：①如图3，当
时，直接写出线段的长为 ；②如图4，当旋转到点
是边的中点时，求线段的长． 
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