1 . 下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，∠C＝90°．
求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．
作法：如图，
①分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E．
所以线段DE就是所求作的中位线．
根据小宇设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PC，QA，QC，DC，
∵PA＝PC，QA＝　　，
∴PQ是AC的垂直平分线（　　）（填推理的依据）．
∴E为AC中点，AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA，
又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°．
∴∠ABC＝∠DCB（　　）（填推理的依据）．
∴DB＝DC．
∴AD＝BD＝DC．
∴D为AB中点．
∴DE是△ABC的中位线．

2 . 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．

求作：，使得．
作法：如图，

①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴（____________）（填推理的依据）．

4 . 如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．

(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)探究OE与AC的数量关系．

5 . 如图，在中，是边上一点，且．

(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），作的角平分线交于点；
(2)F为CD中点，连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．

6 . 如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．

   

7 . 如图，为的直径，点在上．
（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点 （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．

8 . 如图，在中，，

(1)用直尺和圆规作的垂直平分线l，交斜边于点O（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)判断点O在的垂直平分线上吗？说明理由；
(3)结合（1）（2），你还有何发现（证明过程中出现的结论除外）？请写出一条新的结论．

9 . 如图，已知中，为的中点．

(1)请用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点，并连接（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)在（1）的条件下，若的周长为3，求的周长．

10 . 如图，已知，，是的中位线，其中点D在边上，点E在边上．

   

(1)用圆规和直尺在中作出中位线.（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的长．