1 . 如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么_______．

3 . 正方形，点为平面内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，已知点为的中点，连接．
   
(1)如图1，①若点为边边上一点，补全图形；
②判断线段和的数量关系，结论为________；
(2)如图2，若点是的内部一点，（1）中线段和的数量关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
(3)正方形中，已知，若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，线段的最大值为：_________．

4 . 如图1，在中，，，点D、E分别在边AB，上，，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想：
图中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

5 . 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”

(1)如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”有___________；
(2)已知A点的坐标为，B点坐标为，
①如图2，若线段是的以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与y轴的交点M的坐标是___________．
②若将“反射线段”沿直线的方向向上平移一段距离S，其反射轴与y轴的交点的纵坐标的取值范围为，求S的取值范围．
(3)已知点M、N是在以为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围是___________．

6 . 为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．

(1)如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系；
(2)如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不是，请说明理由；
(3)连接BN，在绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．

7 . 在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．

（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝　 　，∠ABP＝　 　（用含α的代数式表示）
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．

8 . 如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．
（1）△FGH的形状是　 　；
（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；
（3）若BC＝，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．

9 . 在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的任意一点P，图形M上的任意一点Q，作△OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”．
已知直线y＝x＋b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是中心为坐标原点，且边长为2的正方形．
（1）如图1，当b＝2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是　 　（请直接写出答案）；
（2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围；
（3）如图3，当b＝﹣6时，图形S沿直线y＝x平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．