1 . 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，．
(1)【基础巩固】
求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形；
(2)【操作思考】
如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
(3)【拓展探究】
如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数．

2 . 如图1，在中，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，若，，，求四边形面积和的长．

3 . 如图，在四边形中，对角线相交于点 O， ，

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当平分时，求四边形的周长．

4 . 如图，四边形中，，，垂足分别为点．

(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是                 ．
(2)添加了条件后，请证明四边形为平行四边形．

5 . 如图，在中，点，分别为，的中点，延长至点，使得，连接，．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．

6 . 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．

   

7 . 如图，在中，点是边的中点，点E在上，点F在延长线上，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．

8 . 在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作．
例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作．

(1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹）
(2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形．
(3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出的长．

9 . 如图，在四边形中，对角线、相交于点，，．求证：四边形是平行四边形．

10 . 阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．

(1)这个中点四边形的形状是           ；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明．