1 . 某兴趣小组探究两个相邻图形中对角线中点连线组成的线段与图形对应边长之间的关系．

(1)如图1，点P为线段上一点，分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形，点P，C，E在一条直线上，M，N分别是对角线的中点．连接，则为的中位线．设两正方形的边长 ，请用含a，b的式子表示的长度为          ；
(2)如图2，把图1 中的正方形改为矩形， ，且 ，能否用含a，b，c，d的式子表示的长度，如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由；
(3)如图3，把图1中的正方形改为菱形，，且两个新组成的菱形中较小的内角为α，请用含a，b，α的式子直接表示出的长度．

2 . 综合与实践

性质探究：如图（1），在等腰三角形中，则底边与腰的长度之比为，则．

理解运用：

（1）若等腰三角形底边与腰的比为，周长为，则它的面积为________；

（2）如图（2），在四边形中，．在边，上分别取中点，，连接，若，，求的度数．

迁移拓展：

（3）如图（3），点将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位，较长线段的长为，利用定义即可求出黄金比．

进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比，②腰与底的比是黄金比，满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为，请你利用所学知识，选择其中一种画出图形，求的值．

3 . 如图，已知四边形内接于，且，点E为弦的中点，连结．延长相交于点F，连结，与相交于点G，与相交于点H．

(1)求证：．
(2)若点C是的中点，，求的值．
(3)连结，探究与之间的等量关系，并证明．

4 . 阅读与思考
下面是小刚同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

梯形的中位线 如图1，在梯形中，，，是的中点，是的中点，连接，则叫作梯形的中位线，并满足，． 证明：如图2，连接并延长，交的延长线于点． ， （依据1）． 是的中点， ． ，，， （依据2）， ……

任务：
（1）填空：材料中的依据1是指___________；依据2是指___________．
（2）将上述方法的证明过程补充完整．
（3）如图3，在梯形中，，，，以，分别为边构造正方形、，连接，取线段的中点为，连接，则的面积为___________．

5 . 已知梯形中，，点E，点F分别为，的中点.

(1)请直接写出与，之间的位置关系和数量关系；
(2)请证明（1）的结论.

6 . 如图，已知函数交x轴于点A，交y轴于点D，与反比例函数的图象相交于B点，且，所在直线与AD关于y轴对称，交x轴于点E，点F是线段的中点，连接，点G是直线上一动点，连接，．

(1)求a的值及点A的坐标，并直接写出的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出当时，对应的x的取值范围．

7 . 阅读下列材料，回答问题．

任务：如图，在湖的两岸间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量两点间的距离，现要测量两点间的距离． 小明利用皮尺测量，求出了两点间的距离．其测量及求解过程如下： 测量过程：（i）如图1，在湖以外选点，测得，； （ii）分别在、上找到点，使得，，测得． 求解过程：由测量知，分别是、的中点， ∴是的中位线，∴① ， ∵，∴②     ．（用含的式子表示）

(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)请你利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，求出两点间的距离，请你在图2中画出你的测量示意图，写出测量数据（无需写测量过程），并写出求解过程．要求：测量得到的线段长度用字母…表示，角度用、、…表示，求解结果用字母表示．

8 . （1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长．

9 . 问题提出
（1）如图1，在中，D，E分别是和上的点，连接，，，的面积为16，则的面积为______；
（2）如图2，在中，，点D，G分别在边、上，且，连接、，点E、F、H分别是、、的中点，连接，，．求的度数，并判断的形状，需说明理由；
问题解决
（3）如图3，有一块四边形型板材，，，，由于工作需要，工人王师傅想在线段、上分别确定点E、F，沿将这块板材分成两部分，裁出四边形与四边形，并满足．王师傅思考了一下，他的操作如下：分别在线段、上找出点E、F，使得，，连接，再沿裁剪．请问王师傅这样操作能否实现？并证明你的结论．

10 . 菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是_____．