4 . 如图，已知在和中，．

(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；
(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．

5 . 如图，已知为的直径，为上一点.

(1)用尺规作图：过点作的垂线，垂足为，交劣弧于点；（只保留作图痕迹）；
(2)根据(1)中作图，若，，求的长，请回答下列解答过程中的序号①、②、③、④所对应的内容.
解：∵AC为的直径，为上一点，
∴ ① ；
在中，，，
∴，
∴，
∵OE为半径，，
∴ ② ；
又∵，
∴OD是的中位线，
∴ ③ ；
∴ ④ .

8 . 已知：，点B为x轴上的一动点，过点B作x轴的垂线交的垂直平分线于点P．

(1)请利用图（1）进行探讨：若点，则点P的坐标为___________；若点，则点P的坐标为___________；若点时，点P的坐标为___________；
(2)设，请列出y关于x函数关系式，并在图2中画出点P的运动轨迹l．
(3)图2中，点，有动点G，；按下列要求作图，轨迹l与直线相交于点A，B（A点在左），点Q为线段的中点，连接，直接写出线段的长度范围．

10 . 如图，在中，是边的中点．

(1)用尺规完成以下基本作图，在直线下方作，为与延长线的交点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，取中点，连接，若，
求证：四边形是菱形．
证明：
__________

为边上的中点
为边上的中点
为的中位线
__________
为中点


四边形为__________
又为边上的中点

____________________

四边形是菱形．