1 . 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且，连接，交于点，求证：．
①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取的中点，连接，再通过“全等三角形的性质”解决问题；
②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点作，交的延长线于点，再通过“全等三角形的性质”解决问题．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在中，点是的中点，点，是的三等分点，，与分别交于点，，求的值．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，在射线上取点，使，连接，在上取点，射线，相交于点，当时，求的值．

2 . 【综合与实践】
【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．

如图（2），和的面积相等，求证：．
证明：分别过点、点作和底边上的高线，．
【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由．
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：如图（4），______．
求证：______．
证明：

3 . 在中 ，是边上的中线，是边上的中线，、交于点．
(1)求证：点在边的中线上．
如图①，连接 并延长，与交于点，连接 ，与交于点．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格；

(2)当 时，
①如图②，连接，求 证 ：；
②若 ， 则面积的最大值为______．
(3)如图③，已知线段、，求作，使 ，，且 ，
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）

4 . 如图①，在锐角中，于点为上一点，为边的中点，连接并延长交边于点为边的中点，连接．

(1)若，求的长；
(2)如图②，若，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：为的中点．

5 . 凡奥贝尔定理是数学中的一个重要定理，凡·奥贝尔（）是19世纪的一位德国数学家和工程师，他在数学和工程领域做出了多项贡献．其中，他提出了一个关于四边形和正方形的定理，即凡·奥贝尔定理．该定理指出，在任意一个四边形中，如果在其边外侧构造一个正方形，并将相对的正方形的中心连起，那么这两条线段将相等且互相垂直．如图1，以四边形的边为边向外作四个正方形，四边形，四边形，四边形，四边形，与相交于点R，与相交于点N，其中心分别为，连接相交于点P，证明：．
证明过程如下：
连接，取的中点M，连接，
四边形，四边形是正方形



在和中



在和中


为的中点，M为的中点
（依据①）
同理

同理可得：____________________

，

……

(1)补全材料：同理可得：__________
(2)按照上面的思路，完成该定理的证明的剩余部分
(3)已知，分别，，为边向外作正方形，，，点分别是正方形，，的对角线交点，连接其中，则四边形的面积为__________．

6 . 在中，，平分，点是段上的动点（不与重合）
(1)如图，若，求证：．

(2)如图，点是线段延长线上的一点，且，
求证：是的中点；
将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证．

7 . 【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长至点E，使，连接；
小华：如图3，取的中点E，连接；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．

【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆．
【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：．

8 . 如图，已知中，，，点为线段上一点，连接，作射线使得．过点作的垂线交于点，连接，取中点，连接，．

(1)补全图形；
(2)求证：；
(3)①判断的形状，并证明．
②直接写出的大小（用表示）．

9 . 将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径．
如图，在中，是中线，是边上一点，，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题．

【特殊化】
（1）当点与点重合时，
①在图中，画出此特殊情形的图；
②此情形下，点与点      重合，此时与满足的数量关系为      ．

（2）当点与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【一般化】
（3）当点中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．

10 . 【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．