1 . 如图，在矩形中，，，P是边上的任意一点，连接，，E，F，G分别是，，的中点．

(1)与的数量关系为________；位置关系为________；
(2)试猜想：当点P位于什么位置时，四边形是菱形？并证明猜想的正确性；
(3)若（2）中菱形为正方形，直接写出a与b之间的数量关系．

2 . 在中，，，D为边上一动点，且（n为正整数），在直线上方作，使得．

(1)如图1，在点D运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
(2)如图2，若，M为中点，当点E在射线上时，求的长；
(3)如图3，设的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）．

3 . 【概念认识】
在中，，直线l分别交边于点D，E. 若，则称直线l为等腰的“和谐分割线”.
【探索发现】
（1）在中，，直线l为等腰的“和谐分割线”. 小美，小丽探索发现了下列结论.

（i）如图①，小美过点D作，交于点H. 证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

（ii）请证明小丽所发现的结论.
【解决问题】
（2）如图③，在中，，点P为外一点，P过点P作一条直线l，使直线l是等腰的“和谐分割线”.（要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【拓展延申】
（3）在中，，，点O为的外心，P为平面内一点，过点P可作出等腰的“和谐分割线”，则的最小值为          .

4 . 【基础巩固】（1）如图1，在中，，D为上一点，，．求证：．
【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，交于点F．若， ．求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（1）的条件下，若，M，N分别是，的中点，请直接写出周长的值．

5 . 【发现】数学作业本上，横线互相平行，并且是等距的，我们称为“等距平行线”，有同学发现，任意画一条直线与这些平行线相交，被平行线截得的每一段都相等．
   
(1)【任务一】 如图，两直线、与一组等距平行线相交，两直线的交点正好落在中间平行线上，与这组平行线垂直，，求证：；
   
(2)【任务二】 如图，有同学发现：的三个顶点都在等距平行线上，且与中间一条线交于点，若有，则，这个结论正确吗？请说明理由；
   
(3)【任务三】如图，有同学发现：过点作直线，分别交上下两条平行线于点、，若有，亦能得到，你能证明吗？
   

6 . 如图①为某街道的部分示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，，点，，在一条直线上，且为的中点．

   

(1)求证：；
(2)从村步行至村，小明选择的路线是，小亮选择的路线是．请比较两条路线的长度并说明理由；
(3)请直接写出线段，，之间的数量关系．

7 . 如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，将直线绕点A逆时针旋转得直线与x轴交于点C．
   
(1)如图2，若，，D为线段的中点，连接，E为线段上的一动点，①求证：；②求的最小值；
(2)如图3，将直线绕点A逆时针旋转与x轴的负半轴相交于点F，试求点F的横坐标（用含b和c的代数式来表示）．

8 . 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．

我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”，类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 如图，在梯形中，，E，F分别是两腰的中点，的延长线交于点G． 求证：． 证明：∵， ∴（依据）． ∵F为DC的中点， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，． ∵E是AB的中点，F是AG的中点， ∴EF是的中位线， ∴． ∵， ∴．

任务：
(1)填空：材料中的依据是______；
(2)如图，在梯形中，，点E在上，交于点F，若，，，求的长．

9 . 如图1，在正方形中，点E、F、G分别为边、、的中点，连接、，H为的中点，连接，则．
   
(1)将绕点B顺时针旋转，连接﹐得到图2，此时是否仍然成立？说明理由．
(2)若四边形为矩形，其他条件不变，，，则=_________；
(3)若四边形为矩形，将绕点B顺时针旋转，其他条件不变，如图4，若，，则=___________．(用m、n表示)
(4)在图4中，当旋转角β为时，将沿翻折至如图5所示，得，若点K刚好与点F重合，则此时矩形的边长与满足什么关系？请说明理由．

10 . 已知四边形内接于（），对角线于点M，点N为线段上一点，且．

(1)如图1，若恰好经过圆心O，证明：．
(2)如图2，若不经过圆心O，是否成立，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，如图3所示，线段与交于点G，延长交于点F，连结，若，，设，，请直接写出的长（用x，y表示）．