1 . 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：

(1)用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）
(2)已知：在四边形中，，为中点，为中点
猜想：，且．
证明：是中点，①______
，
在和中
，

，
在中，是中点，是中点
且③______．


请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______．

2 . 【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．

3 . 平行四边形中，点E在上方，交于点F，连接交于点G，，

(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接AE，若求证：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交的延长线于点H，作交于点K．若，，求线段的长．

4 . 【阅读材料】我们把一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【问题解决】已知在等腰梯形中，，，对角线相交于点T．
(1)如题图1，若，以点T为圆心，长为半径作圆，求证：直线是的切线；

(2)如题图2，若点F，G分别为线段的中点，求证：；

(3)如题图3，若点M是的中点，交AC于点P，若，直接写出的长          ．（用含字母a的代数式表示）

5 . 如图，，，，，连接，交于点F．小红给出如下操作和结论：

小红： 由题目的已知条件，连接，则可证明四边形是矩形．

(1)请你帮小红完成操作及证明过程；
(2)试判断与有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．

6 . 如图，在中，，，是中线．点是上的动点（不与端点B，D重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．在延长线上存在点，使，连接．

   

(1)补全图形；
(2)判断的位置关系______，证明结论；
(3)若，且，直接写出______．

7 . 【问题提出】
（1）如图1，在中，，点是上的动点，连接，则的最小值为      ；
【问题探究】
（2）如图2，在中，点是的中点，延长至点，使得，连接，点是的中点，连接，若的面积为3，求的面积；
【问题解决】
（3）如图3，四边形是张大爷承包的一片土地，和是两条小路（小路的宽度忽略不计），已知O处有一个休息亭，休息亭到的距离，且，点是四边形内一个动点，现要在区域内种植果树，并保证果园的面积是（即），为使得果园灌溉和休息亭的饮水得到满足，计划在小路上修建一口水井，并沿铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度要最小，请你求出的最小值．

8 . 已知：如图，在四边形中，为上一点，，．

(1)求证：；
(2)如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：．

9 . 已知，以三边为斜边向外作等腰直角三角形．

(1)如图1，当为等边三角形时，
①填空：           ；
②证明：．
(2)如图2，当为直角三角形，时，证明：．

10 . 定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．
(1)①写出一种你学过的伪矩形：             ．
②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是             ．
A．正方形       B．矩形       C．菱形       D．无法确定
(2)如图1，在伪矩形中，，，，求的长．

(3)如图2，在伪矩形中，，，，，求这个伪矩形的面积．