1 . 【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长至点E，使，连接；
小华：如图3，取的中点E，连接；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．

【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆．
【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：．

2 . 【课本再现】
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．

【定理证明】
如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且．
以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接．
（1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤．
【知识应用】
（2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形．
（3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：．

3 . 综合与实践
问题提出
如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，求证：四边形是平行四边形．
   
探究展示
某学习小组的解题思路如图：
反思交流
(1)上述解题思路中的“依据”、“依据”分别是什么？
依据：______ ；
依据：______ ．
(2)若四边形满足“”的条件，试判断四边形的形状，并说明理由．
(3)要使四边形为矩形，则四边形需满足的条件是：______ ．
拓展思考
(4)如图，和都是等腰直角三角形，，点，分别是，的中点，连接，．请用等式表示与的数量关系，并证明．

4 . 我们定义：若E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形是矩形，则四边形是四边形的中矩四边形．
(1)如图1，四边形是菱形，E，F，G，H分别是四边形各边的中点，求证；四边形是四边形的中矩四边形．
   
(2)如图2，以锐角的两边，为边，在外作等腰和等腰，其中，F，G，H，M分别为，，，的中点．
   
①求证：四边形是四边形的中矩四边形．
②若四边形的面积为8，，求的值．

5 . （1）计算：．
（2）如图，在中，D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，延长BC至点G，使得，连接．求证：．
   

6 . 如图，点D、E、F分别为的边、、的中点，连接、、、，与相交于点O，求证：．

7 . 如图1所示：在中，点D、E分别是AB，AC的中点，

(1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________．
(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证：；
(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你的猜想．

8 . 如图正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是各边中点，连结EF、GH，把正方形分割成四个小正方形，EF、GH交于O点，I、K点分别是EB、OF的中点，∠HIJ=90°，IJ交EG于J，连结JK、HK．

(1)点J处于EG什么位置？线段IJ与IH的长度关系如何？试证明你的结论．
(2)求四边形HIJK的面积．

9 . （1）【母题呈现】如图1，是的中位线，以为斜边作，，求证：．
（2）【母题变式】如图2，是的中位线，分别以为斜边作和，，作交的延长线于点H，与交于点O．
①求证：；②求的度数．
（3）【拓展应用】如图3，在中，分别以为斜边作和，，点P是线段上一点，且，连接，请写出与之间的一个等量关系，并证明．

10 . 综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则         ；
(3)当AB=m , BC=n时．          ．
(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为         ．