1 . 【阅读材料】我们把一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【问题解决】已知在等腰梯形中，，，对角线相交于点T．
(1)如题图1，若，以点T为圆心，长为半径作圆，求证：直线是的切线；

(2)如题图2，若点F，G分别为线段的中点，求证：；

(3)如题图3，若点M是的中点，交AC于点P，若，直接写出的长          ．（用含字母a的代数式表示）

2 . 如图（1），于点C，点E在线段上，且，，连接、．

   

(1)求证：；
(2)如图（2）连接，O为线段中点，过点C作于点F，连接，
①连接，求证：；
②求的大小．
(3)在第（2）的条件下延长交于点H，判断线段与线段的数量关系，并说明理由．

3 . 如图，在矩形中，，E，F是对角线上的动点，且，M，N分别是边，边上的动点．
   
(1)如图2，连接交于O点，若E、F、M、N分别是、、、的中点，求证：四边形是平行四边形；
(2)当四边形是正方形时，用无刻度的直尺和圆规在图3中作出符合题意的图形并求的长；
(3)当时，且四边形是矩形，直接写出的长．

4 . 在菱形中，点，，，分别为，，，的中点．
   
(1)如图所示，求证：四边形为矩形；
(2)已知，，作的角平分线交于点，作，的中点，连接交与点，交于点，求线段的长度．

5 . 在正方形中，点、 分别是、上的中点，连接、，与相交于点(如图1)
   
(1)求证：；
(2)如图2，连接，取中点，连接(如图)，若正方形边长为，则______(直接写出答案)；
(3)平移图1中线段，使点与点重合，点在线段的延长线上，连接，取中点，连接(如图)，请猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想．

6 . 平行四边形的中点四边形是___________．

7 . 我们定义：若一个凸四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．如矩形，正方形都是等对角线四边形．
(1)如图 ，已知点 ，， 在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出所有的等对角线四边形 ，使点 在格点上．

(2)如图 ，已知等对角线四边形 中，，，，，求 的长．

(3)如图 ，已知凸四边形 中，对角线 ， 交于点 ，点 ， 分别为边 ， 的中点，连接 ，分别与对角线 ， 交于点 ，，若 为等边三角形．

①求证：四边形 是等对角线四边形；且 ．
②试猜想 与 的大小关系，并请证明，你的猜想．

8 . 如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，则点D与以AB为直径的⊙O的位置关系是（       ）

A．圆上

B．圆内

C．圆外

D．不能确定

9 . 如图，，，延长至点，使，四边形为正方形，连接交于．

(1)求证：为的中点；
(2)求点的坐标．

10 . 一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为
　 　
(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．
(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．