1 . 【综合与实践】
【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．

如图（2），和的面积相等，求证：．
证明：分别过点、点作和底边上的高线，．
【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由．
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：如图（4），______．
求证：______．
证明：

2 . 【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．

3 . 定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．
(1)①写出一种你学过的伪矩形：             ．
②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是             ．
A．正方形       B．矩形       C．菱形       D．无法确定
(2)如图1，在伪矩形中，，，，求的长．

(3)如图2，在伪矩形中，，，，，求这个伪矩形的面积．

4 . 学习了“三角形中位线定理”后，在“中，D，E分别是边上的点”这个前提条件下，某同学得到以下3个结论：
①若D是的中点，，则E是的中点．
②若D是的中点，，则E是的中点．
③若，，则D，E分别是的中点．
其中正确的是（       ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

5 . 探究背景：学习了《三角形的中位线》后，某探究小组继续应用中位线定理探究三角形如图1，在中，延长至点D，使得，点E，F，G是的中点．

   

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，连结，尝试探究与的数量关系，并根据图1说明理由；
(3)如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由．

6 . 如图，点C在以为直径的上．将沿直径对折，点C落在上的点D处，分别连接，，，与交于点E．另有一动点F在上运动，连接交于点G，交于点H．

(1)当平分时．
①连结，求证：．
②若，求的值．
(2)当时，探究线段与的长度关系．
(3)如图2，若点F运动到上，交于点I，求证：．

7 . 【基础巩固】（1）如图1，在中，，D为上一点，，．求证：．
【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，交于点F．若， ．求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（1）的条件下，若，M，N分别是，的中点，请直接写出周长的值．

8 . 已知四边形内接于（），对角线于点M，点N为线段上一点，且．

(1)如图1，若恰好经过圆心O，证明：．
(2)如图2，若不经过圆心O，是否成立，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，如图3所示，线段与交于点G，延长交于点F，连结，若，，设，，请直接写出的长（用x，y表示）．

9 . 如图所示，为的直径，点C、D为上任意两点，连结、、、，且与交于点E，若弧等于弧，则下列判断错误的是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知，在中，，，于点H，交于点G，E为上一点，连接交于点F．
   
(1)如图1，若于点E，，，求的长；
(2)如图2，若，，求证：；
(3)如图3，若E为的中点，作A关于的对称点，连接，，，请直接写出，，之间的等量关系．