1 . 已知四边形内接于（），对角线于点M，点N为线段上一点，且．

(1)如图1，若恰好经过圆心O，证明：．
(2)如图2，若不经过圆心O，是否成立，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，如图3所示，线段与交于点G，延长交于点F，连结，若，，设，，请直接写出的长（用x，y表示）．

2 . 在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方．

（1）如图①，当点F落在上时，则的长为______；
（2）如图②，连接、，当平分时，则______．

3 . 如图，四边形顶点是四边形各边中点，若把涂满红油漆需要桶，那么要把其余部分涂满黑颜色，需要_______桶

4 . 如图，中，，将边绕点A逆时针旋转后点B的对应点恰好落在边上的点D处，点E在的延长线上，且，延长交于点F．

(1)求证：；
(2)如图2，点G为的中点，连接，，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，点M是线段的中点，P为边上一动点，连接，把沿翻折到所在平面内得到，当时，直接写出的值．

5 . 如图，点为内任意一点，连接，，，点，，分别为，，的中点，连接，，．

(1)求证：；
(2)当，，时，求的面积．

6 . 如图1，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对于当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服．小明突发奇想，动手制作了一个简易模型（如图2），通过测量，的半径为3，且圆心O在直线l上，然后他又制作了一个三角板模型（，，），准备做一些数学实验，当点B落在直线l上，点C在上时，发现斜边与交于点D，过点D作的切线，交于点E，连接、．

   

(1)求证：；
(2)连接交于F，求的长．

7 . 已知矩形（如图1）的一边和对角线分别与矩形的对角线及边重合，连接，取的中点，连接，试探索解决下列问题：

   

(1)求证：；
(2)如图2，若将（1）中的矩形绕点旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．

8 . 如图，是的中线．

(1)如图1，若点恰好在的垂直平分线上，求的度数；
(2)如图2，若，过点作，垂足为点，求证：．

9 . [背景呈现]
如图1，在四边形中，，E、F分别是的中点，求证：．在下面的括号内，填上推理的根据．

证明：连接并延长交延长线于点G，
∵，
∴（_______________），
又∵点F是中点，
∴，
∵，
∴（______________），
∴，
又∵点E是中点，
∴（____________________），
因此，结论成立．
[关联运用]
已知在等腰和等腰中，，点G、 F分别是的中点，．
（1）如图2，若点D、E分别在上，则的长度是_____（直接写出结果）；
（2）如图3，若点E在上，点D在的外部，求的长．

10 . 如图1，已知在中，，点O是边上的一个动点，点M是线段的中点，为以O为圆心，的长为半径的圆分别交于点D、E，连接交于点N．
       
(1)若．判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，连接，若．
①说明边上一定存在一点O使得；
②若，求的长．