1 . 定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________
A．平行四边形            B．矩形          C．菱形；        D．正方形．
性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________
问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结．

（1）试说明．四边形是“中方四边形”；
拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．
（2）若，则_________；
（3）若的最小值是2，则的长度为_________；

3 . （1）【探究发现】如图①，等腰，，为的中点，，的两边分别与线段、线段交于点（点与点不重合），请写出线段之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）【类比应用】如图②，等腰，，为的中点，，的两边分别与线段、线段交于点（点与点不重合）．直接写出线段之间的数量关系为______；

（3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点，若，，求的长．

4 . 综合与探究：
(1)【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明：

如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：；
(2)【拓展延伸】
如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：；
(3)【问题解决】
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长．

5 . 【问题背景】

如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处．
【问题探究】
（1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G．
①求的值，并说明点M是的中点；
②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值．

6 . 综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转．

(1)观察猜想
若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　；
(2)类比探究
若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值．

10 . 综合与实践

八年级同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展如下数学探究活动：

(1)如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，则　 　．若F是的中点，连接，则与的数量关系是　 　．

迁移探究：

(2)如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点A逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．

拓展应用：

(3)如图3，在中， ，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的长．