1 . 如图，已知矩形的对角线交于点分别为线段的中点．

(1)若，，求的周长；
(2)若为边的中点，求证：四边形是平行四边形．

2 . (1)如图1，和都是等腰直角三角形，且，连接，．
①求证：；
②连接，若点，，分别是，，的中点，连接，，求证；
(2)如图2，和都是等腰三角形，且，其他条件不变，请猜测线段与之间的数量关系，不用说明理由．

3 . 如图所示，在中，点分别为的中点，点F在线段上，连接，点分别为的中点．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的度数．

4 . 如图，在中，分别是边上的中线，与相交于点O，点M，N分别是的中点．

   

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的面积．
(3)试猜想与的数量关系．

5 . 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)如图1，点D在上，且为格点：①将线段绕点A逆时针旋转，得到线段；②在上取点F，使
(2)如图2，点P在上，过点P作交于点M；
(3)如图3，点P是下方网格内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段；

8 . 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．

(1)试证明是的切线；
(2)若的半径为，，求此时的长．

9 . 阅读与思考：
我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形.这个平行四边形是四边形的中点四边形，也称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图1证明如下：

   

证明：如图2，连接，分别交，于点，，

   

∵，分别为，中点，
∴．
∵，分别为，中点，
∴________________（填空1）
∴________________（填空2）
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形．
任务：
(1)填空1：________________；填空2：________________
(2)矩形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(3)菱形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(4)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．

   

10 . 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E．

(1)求证：；
(2)求证：为的切线．