1 . 如图，在中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形．

   

2 . 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点．

(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图 2，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论：        ．

3 . 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．

【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．

4 .

(1)方法呈现：如图①：在中，若，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
(2)探究应用：
如图②，在中，点是BC的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．

5 . 如图，在中，，O是斜边上的中点，，求证：四边形是矩形．
   

6 . 已知：如图，分别是与它的邻补角的平分线，，垂足为点E，，垂足为点F，分别交边于点M和N．求证：

(1)四边形是矩形；
(2)．

7 . 如图，AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，点E是AC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点G，连结DF．

(1)求证：．
(2)连结DE，CF，若，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形．
(3)在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且，求BC的长．

8 . 如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，．

   

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；

9 . 在中，点是的中点，平分，于点．

   

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

10 . 证明三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半．
（提示：画出图形、写成已知、求证及证明过程）
已知：
求证：