1 . 如图，在中，，点D，E，F分别为，，的中点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．

4 . 定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________
A．平行四边形            B．矩形          C．菱形；        D．正方形．
性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________
问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结．

（1）试说明．四边形是“中方四边形”；
拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．
（2）若，则_________；
（3）若的最小值是2，则的长度为_________；

6 . 如图，在中，点，分别为，的中点，延长至点，使得，连接，．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．

7 . 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，．的中点为的中点为，连接．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若，，求的长．

8 . 如图，在中，平分，于点，点是的中点．

             

【探究】
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
（2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________；
【初步运用】
（3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________；
【灵活运用】
（4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________．

9 . 阅读与思考：
我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形.这个平行四边形是四边形的中点四边形，也称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图1证明如下：

   

证明：如图2，连接，分别交，于点，，

   

∵，分别为，中点，
∴．
∵，分别为，中点，
∴________________（填空1）
∴________________（填空2）
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形．
任务：
(1)填空1：________________；填空2：________________
(2)矩形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(3)菱形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(4)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．

   

10 . 数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：．
①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线．
②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法．

（1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类别分析】
（2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明；
【学以致用】
（3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比．