1 . 如图，，为矩形的对角线，的平分线交于点，交的延长线于点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法）（如图）

(2)在（1）所作的图形中，求证：．
证明：为的平分线，
①      ．
四边形是矩形，
②      ，③      ，
④      ，
，
⑤      ，
．

2 . 【感知】如图①，若，易证（不用证明）；
【探究】如图②，正方形和正方形的边在同一条直线上，点在上，相交于点，求证：；
【应用】如图③，在“探究”的条件下，连接，若，则_______．

3 . 在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足．

(1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：；
(2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由；
(3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长．

4 . 已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．

(1)如图1，在矩形边上找点E，F，使得为平行四边形；
(2)如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形为菱形．

5 . 如图，一副三角板摆放在长方形包装袋中．点A，E，B在长方形的一边上，点C，D在其对边上．直角三角形和等腰直角三角形的（       ）
   

A．斜边相等

B．直角的角平分线相等

C．斜边上的高相等

D．一个锐角相等

6 . 矩形中，M，N分别是边上的两个动点．

(1)如图，当时．求证：
①；
②．
(2)当时，是否存在点M的某个位置，使得，若存在，求的长．若不存在，说明理由．
(3)是否存在矩形，使得都和相似，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点．

(1)如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长；
(2)如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积；
(3)如图③，将矩形旋转一定角度后，连接交于点，连接，直接写出的值．

8 . 如图，在矩形中，点分别在边和上，且，以点为圆心，为半径的弧分别交于点和点，连接．若，则四边形的面积为（     ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（       ）

A．若，则	B．若，则
C．若，则	D．若，则

10 . 在矩形中，．

(1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点F处（如图①），设与相交于点G，求证：；
(2)将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在边上（如图②），点A的对应点为，连接交于点．当时，求、的长；
(3)点M在线段上，点N在线段上，（如图③）若按折叠后，点落在矩形的边上点，请求的最大值和最小值．