4 . 如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形．

(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)求四边形的面积．
(3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）．

5 . 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)若AB＝2，DE＝1，求四边形AODE的面积．

7 . 如图，已知平行四边形的对角线、交于点O，是等边三角形，．

（1）求证：平行四边形是矩形；
（2）求平行四边形的面积．

8 . 如图所示，在等边三角形中，分别是边，的中点．连接，，过点作的平行线交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求四边形的面积．

9 . 实践与探究
宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、均匀的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．
下面我们通过折纸得到黄金矩形．
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕是．
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，折痕为．
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使；过点折出折痕，使．

（1）上述第三步将折到处后，得到一个四边形，请判断四边形的形状，并说明理由．
（2）上述第四步折出折痕后得到一个四边形，这个四边形是黄金矩形，请你说明理由．（提示：设的长度为2）
（3）在图4中，再找出一个黄金矩形_______________________________（黄金矩形除外，直接写出答案，不需证明，可能参考数值：）
（4）请你举一个采用了黄金矩形设计的世界名建筑_________________________.

10 . 如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．
(1)求证：CP＝AQ；
(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．