1 . 如图，正方形的对角线，相交于点，为正方形外一点，且，，则的最大值是________．
   

2 . 如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为________．

3 . 已知四边形和都为正方形，连接，，，点，，分别是，，的中点．

      

(1)观察思考
如图①，点，分别在，上，线段和的数量关系和位置关系为______；
(2)探究证明
如图②，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中和的上述关系是否发生变化？请结合图②说明理由；
(3)综合实践
如图③，连接，取的中点，连接，.
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，在旋转的过程中，四边形的周长的最大值为______.

4 . 如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、．

(1)如图1，求证：；
(2)若正方形的边长为4，
①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值；
②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值．

5 . 正方形的边长为，点为边上一点，，点为正方形内一动点且，过点作的垂线交的延长线于点，连接，则的最大值为______．

6 . 如图，正方形的边长为a，点E在上运动（点E不与A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接．则下列结论中：①；②；③；④的最大值是，正确的是___________（填写所有正确结论的序号）．

7 . 如图，在正方形ABCD外取一点P，连接AP、BP、DP．若AP＝，PB＝4．则DP的最大值为（　　）

A．4+2

B．4+

C．5

D．6

8 . 如图，正方形ABCD是边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF．有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的是 _____（把正确结论的序号都填上）

10 . 正方形ABCD中，点E、F分别是AB、CD上动点（与顶点不重合），且满足AE=CF．

(1)如图1，连接EF与对角线BD交于点O，求证OE=OF；
(2)如图2，连接DE，过点F作BC的平行线，分别交AC、AB于点M、G．过点M作HM⊥AC交AB的延长线于点H，连接HC、BM，若HC∥DE，判断DE与BM的数量关系，并加以证明．
(3)如图3，过点B作BK⊥直线EF，垂足为K点，连接KC，若正方形边长为8，则线段KC的最大值为______．