1 . 如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连接，取的中点M，的中点N，连接、．

(1)若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边、上，请直接写出与之间的数量关系．
(2)若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在、的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)①在摆放过程中，若，则的面积______（用含a的式子表示）
②若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值．

3 . 如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

      

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则___________．
②当为最小值时，则___________．

7 . 问题提出：
（1）同一平面内的两条线段和，已知，，则线段最大值是______；最小值是______．
问题探究：
（2）如图，四边形中，，，，且，问是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
   
问题解决：（自行作图并解决）
（3）在中，，，以为一边作正方形，连接，问是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由．

8 . 如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN
（1）线段MN和GD的数量关系是_____，位置关系是_____；
（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．

10 . 小新同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E，交于点G，过点E，G分别作、的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．

   

(1)【探究发现】如图1，
①与的大小关系：______；
②与的大小和位置关系：______．
(2)【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述①②中的关系还存在吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】如图3，若，则：
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为______；
②在旋转过程中，的最大值是______．