1 . 如图，在边长为4的正方形中，点是上的一点，且，于点，，且交于点，则的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

2 . （1）【问题发现】
如图1，在中，，，点为的中点以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为________．
（2）【拓展探究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，请判断线段与的数量关系，并就图2的情形说明理由．
（3）【问题解决】
当，且第（2）中的正方形旋转到，，三点共线时，请直接写出线段的长．

   

3 . 【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．

【初步运用】
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．

5 . 在正方形，，分别是射线，上的点，于点．如图，若点是边上的点．延长交的延长线于点，连结

       

(1)求证：；
(2)若，，直接写出的值________；
(3)延长交射线于点，连结，，若，求的值（用含的代数式表示）．

6 . 问题提出：如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系．

问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，求证：：
（2）再探究一般情形，如（1），试探究与的数量关系．
问题拓展：现将图（1）特殊化，如图（3），连接，若，菱形的面积为，则当点E从点B运动到点C时，线段扫过的面积为_____

7 . 综合与实践
【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点上边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形）考虑到点是的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明，从而得到．

（1）小明的证法中，证明的条件可以为（       ）
A．        B．        C．        D．
【类比迁移】
（2）如图3，若把条件“点上边的中点”改为“点上边的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）已知，四边形是正方形，点是直线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，则长为______．

9 . 探索与发现：
小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：
如图，在边长为3的正方形的边上取定点E，使，在边上设置动点P，连接，以为边在的上方作正方形，接，．

   

(1)小李同学通过观察发现图中，请给出证明；
(2)探索过程中发现，在点P运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值 ；
(3)进一步探索后发现，随着点P的运动，的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．

10 . 如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．

(1)求证：；
(2)连接．
①当时，求的值．
②如果是以为腰的等腰三角形，直接写出的度数．