1 . 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形中对角线于点．所以四边形是垂美四边形．
   
(1)在图1中，我们发现垂美四边形的两组对边满足：，请你证明这个结论；
(2)如图2，请你用（1）中的结论解决下面问题：分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．若，，求的长．

2 . 在正方形中，两条对角线，相交于点O，且，连接．
​
(1)如图1，若，，求线段的长；
(2)如图2，将的顶点移到上任意一点处，绕点旋转，交的延长线上一点E，射线交的延长线上一点F，连接，求证：．

3 . 【母题再现】如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，求证：．
【知识探究】证明：如图，取的中点，连接．
四边形是正方形，
，．

．

   

结合上面的知识探究，请同学们完成如下问题：
(1)请补全知识探究的证明过程．
(2)连接，若正方形边长为，求的面积．
(3)连接，求的值．

4 . 如图①，在正方形中，（不与B、D重合），连接，过点M作

(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图②，连接交于点G．若，求的值．

5 . 如图，在正方形中，、、H分别是、、的中点，、交于点G，连接，下列结论中，不正确的是（       ）
   

A．

B．

C．

D．是等边三角形

6 . 在正方形中，两条对角线相交于点，点和点分别是上的动点，且，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长；
(2)如图2，将的顶点移到上任意一点处，绕点旋转，仍满足，交的延长线一点，射线交的延长线上一点，连接．求证：．

7 . 如图，四边形是正方形，对角线，相交于点，，分别是边，上的动点，且，连接，分别交对角线于点，，连接，．

   

(1)求证：．
(2)当点，分别在，的什么位置时？四边形是平行四边形，并说明理由．

8 . 如图，已知正方形的对角线相交于点O，E是上一点，连结，过点A作，垂足为M，交于点F．

   

(1)试说明；
(2)如图2，若点E在的延长线上，于点M，交的延长线于点F，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由．

9 . 如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（    ）

   

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，在正方形中，，分别是，的中点，分别交，于点，，连接恰好过点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是(       )
   

A．①③④

B．②③④

C．①②③

D．①②④