1 . 数学课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．

(1)【操作判断】
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空：图2中与的数量关系是__________；四边形的形状是__________；
(2)【迁移探究】
小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由；若能，请求出的长；
(3)【拓展应用】
在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，的长是________．

2 . 如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．

   

(1)求证：四边形为矩形；
(2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明．

3 . 下列说法正确的是（       ）

A．对角线相等的四边形是平行四边形	B．四个角都相等的四边形是正方形
C．矩形的对角线垂直且互相平分	D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形

4 . 如图，△中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
   
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，当点O在边上运动到什么位置时，四边形是正方形？并说明理由．

5 . 如图所示，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．

(1)求证：．
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形，并证明你的结论．

6 . 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线与，垂足为，连接，．

   

(1)求证：；
(2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．

7 . 如图，在中，，为的中点，，．

(1)试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)当________°时，四边形为正方形．

8 . 问题提出

(1)如图1，在中，，，的平分线交于点D．过点D分别作，．垂足分别为E，F．则四边形是___________．（写出图形形状）
问题探究
(2)如图2，是半圆O的直径，．P是上一点，且，连接，．的平分线交于点C，过点C分别作，，垂足分别为E，F，求线段的长．
问题解决
(3)如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径，点C在⊙O上，且．P为上一点，连接并延长，交⊙O于点D．连接，．过点P分别作，，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设的长为x（m），阴影部分的面积为y（m²）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为时，整体布局比较合理．试求当时．室内活动区（四边形）的面积．

9 . 在△ABC中，，于D，将沿所在的直线折叠，使点D落在点E处；将沿所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长使其交于点M．

(1)判断四边形的形状，并给予证明．
(2)若，试求四边形的面积．

10 . 如图，在中，的角平分线交于点D，．

(1)求证四边形是菱形；
(2)若，且，求四边形的面积．