1 . 【探索发现】
如图1，是等边三角形，点D为边上一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形．

小明是这样想的：

（1）请参考小明的思路写出证明过程；
（2）直接写出线段之间的数量关系：　　；
【理解运用】
如图2，在中，于点D．将绕点A逆时针旋转得到，延长与交于点G．
（3）判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展迁移】
（4）在（3）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，求的长．

2 . （1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，BE＝CF，AF，DE交于点G．求证：AF⊥DE且AF＝DE；

（2）点E，F分别在边CB，DC的延长线上，且BE＝CF．（1）中结论是否也成立？如果成立，请写出证明；如果不成立，请写出理由；
（3）在（2）的基础上，连接AE，EF，分别取AE，EF，FD，AD的中点M，N，P，Q，请判断四边形MNPQ的形状，并写出证明．

3 . 四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．

(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．

4 . 如图，已知正方形的边长为3，菱形的三个顶点E、G、H分别在正方形的边、、上，，连接．

（1）当时，求证：菱形为正方形；
（2）设，请用x的代数式表示的面积；
（3）当时，求的度数．

5 . 如图所示，△ABC中，已知：∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求△ABC 的面积．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为G、F，延长GB、FC相交于H点，证明四边形AGHF是正方形；
（2）设AD等于x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
小萍是这样思考的：由折叠得：AG= ，AF= ，然后利用勾股定理就可以求出x的值，其后求出△ABC 的面积．请你写出后面的推理过程．

6 . 如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于O，OE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：．
（2）若点F是OD的中点，连接EF交OC于点G，连接AF．
①求证：GE＝GF．
②若AF＝EF，求证：四边形ABCD是正方形．

7 . 如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点.
探究：线段与的数量关系，并加以证明；
若，求的长；
当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形?并说明理由．

8 . 如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．
（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．
   

9 . 如图，在平面直角坐标系中，二个顶点的坐标分别为，，，动点在边上，连接，过点作交边于点．连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，．

      
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状并证明；
（3）当点到的距离等于时，直接写出此时点的坐标．

10 . 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE＝CD，连接BD和AE，再将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，再连接DF．

（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）判断四边形ABDF的形状并证明；
（3）当S_{四边形ABDF}＝BD²时，求∠AEC的度数；
（4）连接EF，G为EF中点，BC＝4，当D从C运动到A点的过程中，EF的中点G也随之运动，请直接写出G点所经过的路径长．