1 . 如图，在矩形
中，
，
，
是
上的一个动点．
(1)如图1，连接
，
是对角线的中点，连接
．当
时，求
的长；
(2)如图2，连接
，
，过点作
交
于点
，连接
，与交于点
．当平分
时，求
的长
(3)如图3，连接，点
在
上，将矩形沿直线
折叠，折叠后点
落在上的点
处，过点作
于点
，与交于点
，且
．求
的值．
中，，，是上的一个动点． (1)如图1，连接
，是对角线的中点，连接．当时，求的长；(2)如图2，连接
，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长(3)如图3，连接
，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值．
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2 . （1）在矩形中，
，
，
于
，
分别交，于点，，
分别交，
于点，．
①如图1，当
时，线段与线段的数量关系是 ；
②如图2，当
时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（2）如图3，在四边形中，
，
，
于，点，分别在边，上，若
，请直接写出的长．
中，，，于，分别交，于点，，分别交，于点，．①如图1，当
时，线段与线段的数量关系是 ；②如图2，当
时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（2）如图3，在四边形
中，，，于，点，分别在边，上，若，请直接写出的长．
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名校
解题方法
3 . 问题探究：如图1，在正方形
，点
分别在边
上，
于点
点
分别在边
上，
．
与
的数量关系：_____；
②推断：
______(填数值)；
(2)类比探究：如图2，在矩形中，
．将矩形沿
折叠，使点
落在
边上的点处，得到四边形
，
交
于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用1：如图3，四边形中，
，
，
，点
分别在边
上，求
的值．
(4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若
，
，求
的长．
，点分别在边上，于点点分别在边上，．
与的数量关系：_____；②推断：
______(填数值)；(2)类比探究：如图2，在矩形
中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用1：如图3，四边形
中，，，，点分别在边上，求的值．(4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若
，，求的长．
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2023-12-04更新
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328次组卷
|
3卷引用：四川省成都市锦江区锦江区嘉祥外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
4 . 已知：如图，在正方形外取一点E，连接
，过点A作的垂线交
于点P，若
，下列结论中正确的是_________ ．
①
；②
；③
；④
；⑤
．
外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是①
；②；③；④；⑤．
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5 . （1）如图1，在
中，D为AC边上一点，
，求证：
；
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在AB边上，且
，
，
，求DE的长；
（3）如图3，在正方形ABCD中，点F在AB边上，点E为正方形ABCD外一点，
，
，
．请直按写出
的值．
中，D为AC边上一点，，求证：； （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在AB边上，且
，，，求DE的长； （3）如图3，在正方形ABCD中，点F在AB边上，点E为正方形ABCD外一点，
，，．请直按写出的值．
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6 . 数学概念
我们把对角线相等的四边形称为等对角线四边形．
回忆旧知
（1）在我们学习过的四边形中，找出一个等对角线四边形，写出它的名称．
知识运用
（2）已知四边形是等对角线四边形，图①中四边形
的四个顶点分别是四边形四条边的中点，图②中四边形
的边
，
，则（ ）
A．四边形、都是等对角线四边形
B．四边形、都不一定是等对角线四边形
C．四边形是等对角线四边形，四边形不是等对角线四边形
D．四边形不是等对角线四边形，四边形是等对角线四边形
概念证明
（3）规定：一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形为“等腰梯形”，请尝试证明等腰梯形是等对角线四边形．
已知：如图，在等腰梯形中，
，
，
．
求证：等腰梯形是等对角线四边形．
类比迁移
在七年级（下）学习三角形的时候，我们曾用下图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系：
（4）请用类似的方法揭示四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系．
我们把对角线相等的四边形称为等对角线四边形．
回忆旧知
（1）在我们学习过的四边形中，找出一个等对角线四边形，写出它的名称．
知识运用
（2）已知四边形
是等对角线四边形，图①中四边形的四个顶点分别是四边形四条边的中点，图②中四边形的边，，则（ ） A．四边形
、都是等对角线四边形B．四边形
、都不一定是等对角线四边形C．四边形
是等对角线四边形，四边形不是等对角线四边形D．四边形
不是等对角线四边形，四边形是等对角线四边形概念证明
（3）规定：一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形为“等腰梯形”，请尝试证明等腰梯形是等对角线四边形．
已知：如图，在等腰梯形
中，，，．求证：等腰梯形
是等对角线四边形． 类比迁移
在七年级（下）学习三角形的时候，我们曾用下图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系：
（4）请用类似的方法揭示四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系．
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名校
解题方法
7 . （1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边
上，于点O，点G，F分别在边
上，
．
①判断
与的数量关系：______；②推断：
的值为________；
（2）类比探究，如图（2），在矩形中，
（k为常数），将矩形沿
折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形
交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，
，点M、N分别在边上，求的值．
中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．
①判断
与的数量关系：______；②推断：的值为________；（2）类比探究，如图（2），在矩形
中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，
，点M、N分别在边上，求的值．
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2023-10-08更新
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358次组卷
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6卷引用：四川省成都市四川大学附属中学初中部2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
8 . 问题探究
（1）如图1，在四边形中，连接
，
，
，
，求的面积；
问题解决
（2）如图2，有一个菱形广场，已知
米，
，连接．现计划对这个广场进行绿化．在
和
区域种植绿植，且满足点、、分别在、、
上，
，
，为了节省成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，问与的面积之和是否存在最小值，若存在，请求出其最小值：若不存在，请说明理由．
（1）如图1，在四边形
中，连接，，，，求的面积；问题解决
（2）如图2，有一个菱形广场
，已知米，，连接．现计划对这个广场进行绿化．在和区域种植绿植，且满足点、、分别在、、上，，，为了节省成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，问与的面积之和是否存在最小值，若存在，请求出其最小值：若不存在，请说明理由．
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9 . 【问题提出】
（1）如图①，在四边形中，．若
，
，对角线
，求四边形的最大面积；
【问题解决】
（2）随着社会的多元化发展，研学观光园走进了我们的生活．如图②所示的四边形为某研学观光园的规划设计图，他们打算分为两个区域，其中一个区域为观光采摘区，如
所示，要求建在一条笔直的公路的旁边；另一个区域为研学探究区，如
所示，要求满足
．从实用和美观的角度还要求，且
．已知
，那么是否存在这样的面积最大的四边形？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，说明理由．
（1）如图①，在四边形
中，．若，，对角线，求四边形的最大面积； 【问题解决】
（2）随着社会的多元化发展，研学观光园走进了我们的生活．如图②所示的四边形
为某研学观光园的规划设计图，他们打算分为两个区域，其中一个区域为观光采摘区，如所示，要求建在一条笔直的公路的旁边；另一个区域为研学探究区，如所示，要求满足．从实用和美观的角度还要求，且．已知，那么是否存在这样的面积最大的四边形？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，说明理由．
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10 . 问题探究
(1)如图①，在四边形中，，
，
，
，则的面积________．
(2)如图②，在中，点A是平面内一动点，且始终满足
，
，求
的最小值．
(3)如图③，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接
，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望
的和最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：
，
，
，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由
(1)如图①，在四边形
中，，，，，则的面积________．(2)如图②，在
中，点A是平面内一动点，且始终满足，，求的最小值．(3)如图③，四边形
为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望的和最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：，，，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由
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