4 . 阅读材料，回答下列问题：
【问题提出】几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题转换成了数学问题，初中数学常用的几何模型有很多，但是通过整理归纳，就可以从这些基本模型找到其中所蕴含的规律．
【问题解决】
如图1，在四边形中，，，过点作于点，连接，发现，，之间的数量关系是___________；
【问题探究】
如图2，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，．
探究一：与之间有怎样的数量关系？请说明理由；
探究二：连接，已知，，，求的长（用含，的式子表示）．
【拓展延伸】
如图3，中，，，点为边上一点（不与、重合），过作于，作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，
拓展一：线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由；
拓展二：若，求的值是___________．

5 . 矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH． ∵k＝2， ∴AB＝BC． ∵∠B＝90°，BH＝BE， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠AHE＝180°-∠1＝135°． ∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°， ∴∠3＝∠DCG＝45°． ∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°． ∴…… （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．

7 . 综合与实践
问题情境：
如图，矩形纸片的边，，沿对角线剪开，得到两个三角形纸片，分别为和．固定不动，把纸片平移得到，设平移的距离是．

操作探究：
(1)如图2，把纸片沿射线平移得到，当四边形是正方形时，直接写出的值；
拓展探究：
(2)如图3，把纸片沿射线平移得到．
①求证：四边形是平行四边形；
②当四边形是菱形时，求的值，此时连接，直接写出的长．

9 . 如图，等腰可以绕等腰的顶点C旋转，，，．点F、H、G分别是DE、AB、EB的中点，连接FH、GH．

(1)【问题解决】如图1，______°；
(2)【问题探究】如图2，连接AE，若，求：的值；
(3)【问题拓展】若，旋转等腰，当，且以B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出FH的长．

10 . 问题提出：
在如图所示的正方形网格中，我们称格线的交点为格点，以格点为顶点的正方形称为“格点正方形”．如图所示正方形ABCD、EFGH都是“格点正方形”，那么像图中这种（即边长为8个单位）的正方形网格中“格点正方形”一共有多少个呢？
问题转化：
我们可以把“格点正方形”分为两类：一类称作“正向正方形”，即“格点正方形”的边在格线上的，如正方形ABCD；另一类称作“斜向正方形”，即“格点正方形”的边不在格线上的，如正方形EFGH．

探究一：
我们先来研究“正向正方形”的个数和：
①在的正方形网格中，“正向正方形”的个数是1；
②在的正方形网格中，
边长为2的“正向正方形”的个数为1；
边长为1的“正向正方形”的个数为4；
在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：；

③在的正方形网格中，
边长为3的“正向正方形”的个数为1；
边长为2的“正向正方形”的个数为4；
边长为1的“正向正方形”的个数为9；
在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：；

④在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：        ；

⑤在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：        ．
探究二：
经过研究得到
的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是0；
的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是1；

的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是6；

的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是20；

探究三：
将前面的研究结果制作成表格如下：

	1×1	2×2	3×3	4×4	5×5
“正向正方形”的个数和	1	5	14
“斜向正方形”的个数和	0	1	6	20
“格点正方形”的总数	1	6	20

从表格中数据看出，“斜向正方形”的个数和与“格点正方形”的总数有非常紧密的联系，
借此规律：在的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是        ．
问题解决：
在的正方形网格中，“格点正方形”的总数是        个．
拓展延伸：
如果用表示的正方形网格中“格点正方形”的总数，那么         ．