1 . 小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：．
   
(1)请你解答小明的这道题；
(2)在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”）
(3)如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；
(4)连接，．
①求证：是定值；
②求的最小值（直接写出答案即可）．

2 . 数学概念
我们把对角线相等的四边形称为等对角线四边形．
回忆旧知
（1）在我们学习过的四边形中，找出一个等对角线四边形，写出它的名称．
知识运用
（2）已知四边形是等对角线四边形，图①中四边形的四个顶点分别是四边形四条边的中点，图②中四边形的边，，则（     ）
   
A．四边形、都是等对角线四边形
B．四边形、都不一定是等对角线四边形
C．四边形是等对角线四边形，四边形不是等对角线四边形
D．四边形不是等对角线四边形，四边形是等对角线四边形
概念证明
（3）规定：一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形为“等腰梯形”，请尝试证明等腰梯形是等对角线四边形．
已知：如图，在等腰梯形中，，，．
求证：等腰梯形是等对角线四边形．
   
类比迁移
在七年级（下）学习三角形的时候，我们曾用下图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系：
   
（4）请用类似的方法揭示四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系．

5 . 矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH． ∵k＝2， ∴AB＝BC． ∵∠B＝90°，BH＝BE， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠AHE＝180°-∠1＝135°． ∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°， ∴∠3＝∠DCG＝45°． ∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°． ∴…… （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．

6 . 【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容．

例4如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CEAB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED． 证明：∵CEAB（已知），

请根据教材内容，结合图①，补全证明过程．

【结论应用】
（1）如图②，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE，线段CE与BA边的延长线交于点F，点P、Q分别在线段CE、EF上，且CP＝FQ．求证：四边形APDQ是平行四边形．
（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，分别取AB、CD边的中点E、F，连接EF，经过线段EF中点O任意作一条直线l，作点B关于直线l的对称点P，连接PE、PO、PF，过点E作PF的平行线交PO的延长线于点Q，连接FQ，得到四边形PEQF．则四边形PEQF面积的最大值为______．

7 . （1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足，

求证：．
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．
请你根据小明的思路写出完整的解答过程．
证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，
……
（2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，
①求的度数；
②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

10 . 我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究

(1)如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件．
(3)命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．
①小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）
②小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围．