1 . 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的，联系的，发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”主题下设计的问题，请你解答．

       

(1)定理证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，D为的中点．
求证：①______．
证明：如图2，延长至点E，使，连结．
∵D为的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
又∵②_____，
∴是矩形，
∴，
∴③_____．
（将上述求证过程中①②③空格补充完整）
(2)定理运用：如图3在菱形中，与相交于点O，于E，点是的中点．

   

①求证：点是四边形的外接圆圆心，并画出这个外接圆；
②若，，求菱形的周长．
(3)拓展提升
如图4，在中，，，是边上中线，将沿翻折，点A的对称点记为，当垂直于的一边时，请直接写出的长．

   

2 . 欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书．
小明在阅读《几何原本》时，看到定理3.32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角．
小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系．
请帮助小明写出已知，求证，并证明．
已知：如图，中，_____________，点为劣弧上一点，连接，．
求证：_________________．

3 . 下列说法不正确的是（       ）

A．的方程为一元二次方程	B．与关于原点对称
C．圆内接四边形的对角互补	D．过同一直线上的三个点不能作圆

4 . 已知四边形是的内接四边形，延长，延长线与边组成的角即为的内接四边形的一个外角，称为外角的“内对角”．

(1)当时，求的度数．
(2)由（1）的结果你能猜想出什么结论？并证明你的猜想．

5 . 对心曲柄滑块机构广泛应用于蒸汽机、内燃机、空压机以及各种冲压机器中．如图1是对心曲柄滑块机构的模型示意图，滑块B和曲柄的O端在一条直线上，曲柄绕回转中心O整周转动的过程中，通过连杆使滑块B在直线上往复运动．记直线与交于C，D两点（点D在点C的左侧）．


(1)若曲柄的长度为，连杆的长度为，则滑块B到回转中心O的最小距离为            ，最大距离为            ．（用含a，b的式子表示）
(2)当连杆与相交于点E时，连接，如图2所示．若平分，求证：．
(3)当连杆与相切时，连接，如图3所示．若曲柄的长度为，，求连杆的长．

6 . 如图，圆O的直径与弦相交于点，直线与相交于点，连结．．

(1)求证：；
(2)过作直线交圆O于，垂足为．若．求弦的长；

7 . 下列事件中，属于随机事件的是（       ）

A．食用油滴入水中，油会浮在水面上

B．圆内接四边形的对角互补

C．抛物线关于y轴成轴对称

D．两个相等的圆心角所对的弧相等

8 . 如图1．在正方形中，点F，H分别在边，上，连结，交于点E，已知．

(1)线段与垂直吗？请说明理由．
(2)如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K．求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值．

9 . 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，点D是上一动点，连接BD，AD，CD，延长CD至点E．

(1)求证：DA平分∠BDE；
(2)若AE＝AD，求证：EC＝BD；
(3)在（2）的条件下，从以下两题任选一个填空（若两者都选，只以第①题计分）：
①若AE是⊙O的切线，则四边形ABCE的形状是 　 　；
②若AB＝2，四边形OADC是菱形，则⊙O的半径是 　 　．

10 . 阅读：如图1所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD．BC是⊙O的直径，AB＝AC．请说明线段AD、BD、CD之间的数量关系．下面是王林解答该问题的部分解答过程，请补充完整：
解：AD+CD＝BD．
理由如下：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
如图2所示，过点A作AM⊥AD交BD于点M，…

(1)补全王林的解答过程；
(2)如图3所示，四边形ABCD中∠ABC＝30°，连接AC、BD．若∠BAC＝∠BDC＝90°，直接写出线段AD、BD、CD之间的关系式是 　 　．