1 . 如图，已知是的直径，，切于点B，过点C作交于点F，．
   
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，N是上一点，在上取一点M，使，连接．请问：三条线段，，有怎样的数量关系？并证明你的结论．

2 . 【初步感知】

（1）如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为______度；
【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
（3）如图3，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____．

3 . 阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．

已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点，
于点，延长交于点．
求证：．
证明：，，
，，
．
……
任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长．

6 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．

例2如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点E，使，连结、．

   
(1)请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
(2)【应用】如图②，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连结，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么　              　．
(3)【拓展】如图③，在等腰直角三角形中，，D是边中点，E，F分别是边上的动点，且，当点E从点A运动到点C时，的中点M所经过的路径长是多少？

9 . 【教材呈现】如图是人教版九年级上册第86页部分内容：

圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 如图，已知：A、B、C三点在上，，求证：为直径．     证明：∵为圆周角所对的弦，为圆周角所对应的圆心角， ∴，且． ∴，点O在线段上，即三点共线， 则为的直径．上述推理：得．

【定理应用】如图1，四边形为圆内接四边形，是的直径，过点C作的切线，与的延长线交于点E．平分，求证：．
【拓展应用】如图2，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角三角形，点E是的中点，连接．若，求的面积．