1 . 如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（1）①∠BCE与∠CDF的大小关系是_______________；
②证明：GF⊥BF；
（2）探究G落在边DC的什么位置时，BF=BC，请说明理由.

2 . 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE=90°．当BE=2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．
小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将解决问题．

请回答：
（1）小明发现的与CD相等的线段是 ．
（2）证明小明发现的结论；
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（3）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，BD=2DC，点E在AD上，且∠BEC=135°，求的值．

3 . 在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．

（1）感知：如图①，连接AE，过点E作，交BC于点F，连接AF，易证：(不需要证明)；
（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作，交BC于点F，连接PF．求证：相似；
（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，，其他条件不变，且的面积是6，则AP的长为____．

4 . （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB、AD、DC之间的等量关系为        ；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．

5 . 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；
（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；
（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．

6 . 如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．

（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=，请直接写出线段AD和DF的长．

7 . 如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？
(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC²＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．
①BC²＝BD·AB；②CD²＝AD·BD.

8 . 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点(与点O不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BC于F，交B0于H，连接OG，CC．
(1)求证：AH=BE；
(2)试探究：∠AGO的度数是否为定值?请说明理由；
(3)若OG⊥CG，BG=，求△OGC的面积．

9 . 课堂上，数学老师提出了如下问题：
如图1，若线段AD为△ABC的角平分线，请问一定成立吗？
小明和小芳分别作了如下探究：
小明发现：如图2，当△ABC为直角三角形时，且∠C=90°，∠CAB=60°时，结论成立；
小芳发现：如图3，当△ABC为任意三角形时，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E，利用此图可以证明成立．

10 . 问题探究：
新定义：
将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）
解决问题：

已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2.
（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，直接写出AD的长；
（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度. （要求：图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）