1 . 综合与实践
【问题情境】
数学实践活动上，同学们通过自己的方法成功测量了学校旗杆的高度．他们对此产生了浓厚的兴趣，决定尝试测量学校篮球场某个路灯的高度．此时路灯已经点亮了校园的运动场．
【问题探究】
第一小组的一名
的同学从路灯底端出发向前走一段距离停止．做好标记后，测量并记录，重复三次操作．示意图如图1．
（1）该测量模型中，若
，
，用含a，b的代数式表示路灯
的高度______．
【拓展应用】
（2）另一组的同学想到另外一个方案，他们让两名身高同为的同学一起从路灯底端出发向前走一段距离，其中一名同学停下后，另一名同学继续前进，直到位于前一名同学的影子顶端才停止．他们画出的测量示意图如图2，测得第一名同学的影长
为
，第二名同学的影长
为
．你能否帮他们求出路灯的高度？
【问题情境】
数学实践活动上，同学们通过自己的方法成功测量了学校旗杆的高度．他们对此产生了浓厚的兴趣，决定尝试测量学校篮球场某个路灯的高度．此时路灯已经点亮了校园的运动场．
【问题探究】
第一小组的一名
的同学从路灯底端出发向前走一段距离停止．做好标记后，测量并记录，重复三次操作．示意图如图1． （1）该测量模型中，若
，，用含a，b的代数式表示路灯的高度______．【拓展应用】
（2）另一组的同学想到另外一个方案，他们让两名身高同为
的同学一起从路灯底端出发向前走一段距离，其中一名同学停下后，另一名同学继续前进，直到位于前一名同学的影子顶端才停止．他们画出的测量示意图如图2，测得第一名同学的影长为，第二名同学的影长为．你能否帮他们求出路灯的高度？
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2 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程．
数学思考：（1）如图1．在矩形
中，
，
，
、
分别是、
上的两点，连接
、
，
于点
，则
________．
深入探究：（2）如图2，在矩形中，
，
分别交、
于点、，
分别交、
于点
、．求证：
．
拓展延伸：（3）如图3，在
中，
，点
在边上，连接，过点
作
于点，且的延长线交边于点．若
，
，
，请直接写出的长．
问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程．
数学思考：（1）如图1．在矩形
中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________．深入探究：（2）如图2，在矩形
中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：．拓展延伸：（3）如图3，在
中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长．
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3 . 【问题呈现】如图，是矩形的边
上的一点，
于点，
，
，
，证明
，并计算点
到直线的距离（结果保留根号）．
(1)结合图①，完成解答过程．
(2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段
交边于点，如图②，求
的长．
(3)如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点
与点
重合，点的对称点为点
．若
，，求的长．
是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）． (1)结合图①，完成解答过程．
(2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段
交边于点，如图②，求的长．(3)如图③，
，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长．
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4 . 综合与实践-问题情境：
如图1，已知在
中，
分别是
上的点，且
．
(1)操作发现：求证：
．
(2)深入探究：在图1的基础上，将
绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接
，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．
拓展探究：
(3)如图3，当旋转到点
在一条直线上时，
与
交于点，若
，
，求
的值．
如图1，已知在
中，分别是上的点，且．(1)操作发现：求证：
．(2)深入探究：在图1的基础上，将
绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．拓展探究：
(3)如图3，当
旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值．
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名校
5 . 【温故知新】（1）九（I）班数学兴趣小组认真探究了课本P91第13题：如图1，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且
，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．
①小华很快找出
，他的思路为：设正方形的边长
，则
，
，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程；
②小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于
与
中的比例线段来证明
与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；
【拓展创新】
（2）如图2，在矩形中，E为的中点，
交于F，连结
．（
） 求证：
.
中，E是的中点，F是上一点，且，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．①小华很快找出
，他的思路为：设正方形的边长，则，，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程；②小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于
与中的比例线段来证明与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】
（2）如图2，在矩形
中，E为的中点，交于F，连结．（） 求证：.
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名校
6 . （1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，
的延长线与BC的延长线交于点F，连接
．
①小明探究发现：当点E在上移动时，
．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长交
于点G．
②进一步探究发现，当点与点F重合时，
．
（2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点E为边上一点，连接，作点D关于的对称点D，
的延长线与的延长线交于点F，连接
，，．当
，
，
时，求
的长；
（3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，
，
，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果
，请直接写出此时
的长．
是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，的延长线与BC的延长线交于点F，连接． ①小明探究发现：当点E在
上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长
交于点G．②进一步探究发现，当点
与点F重合时， ．（2）【类比迁移】如图②，四边形
为矩形，点E为边上一点，连接，作点D关于的对称点D，的延长线与的延长线交于点F，连接，，．当，，时，求的长； （3）【拓展应用】如图③，已知四边形
为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．
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解题方法
7 . 如图1，在中，
，
，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且
，将
绕点B在平面内旋转.
(1)观察猜想：若
，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则
______；
(2)类比探究：若
将绕点B旋转至如图3所示的位置，求
的值；
(3)拓展应用：若，D为AB的中点，
，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置
，请直接写出线段
的长．
中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转.(1)观察猜想：若
，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______；(2)类比探究：若
将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值；(3)拓展应用：若
，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长．
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名校
8 . 感知：如图①，在四边形 ABCD 中，AB
CD，∠B=90°，点 P 在 BC 边上，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？ （填“是”或“否”）．
探究：如图②，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，
BC=
，CE=9，则 DE 的长为 ．
CD，∠B=90°，点 P 在 BC 边上，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？ （填“是”或“否”）．探究：如图②，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，
BC=
，CE=9，则 DE 的长为 ．
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2022-07-04更新
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259次组卷
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5卷引用：吉林省长春市朝阳区第二实验学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题
吉林省长春市朝阳区第二实验学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题吉林省第二实验学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题江苏省泰州市靖江市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）2023年湖北省中考数学真题变式题21-24题（已下线）第4章 图形的相似（单元测试·基础卷）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
名校
9 . 综合实践
实践操作：已知正方形ABCD中，边长．
将正方形ABCD做如下两次变换：先将正方形ABCD沿着射线DA向左平移，平移距离为m，得到正方形HEFG，如图①．再将正方形绕着点E逆时针旋转，旋转角为
，使得点H正好落在线段BD上，如图②．
问题探究：
(1)若通过两次操作，使得GH落在直线DB上，如图③；问题：旋转角为
______度；平移距离为
______．
(2)如图②，若通过两次操作，点H落在DB的中点上；问题：旋转角为______度；平移距离为______．
拓展探究：
(3)如图②，若通过两次操作后，
；则
______（用含有n的代数式表示）
(4)在图②中，HG、EH分别交BC、AB于点M、N，过M、N分别作HG、HE的垂线，两垂线交于点P，判断四边形MPNH的形状，并说明理由．
实践操作：已知正方形ABCD中，边长
．将正方形ABCD做如下两次变换：先将正方形ABCD沿着射线DA向左平移，平移距离为m，得到正方形HEFG，如图①．再将正方形绕着点E逆时针旋转，旋转角为
，使得点H正好落在线段BD上，如图②．问题探究：
(1)若通过两次操作，使得GH落在直线DB上，如图③；问题：旋转角为
______度；平移距离为______．(2)如图②，若通过两次操作，点H落在DB的中点上；问题：旋转角为
______度；平移距离为______．拓展探究：
(3)如图②，若通过两次操作后，
；则______（用含有n的代数式表示）(4)在图②中，HG、EH分别交BC、AB于点M、N，过M、N分别作HG、HE的垂线，两垂线交于点P，判断四边形MPNH的形状，并说明理由．
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10 . 如图，已知和均为等腰三角形，
，
．
（1）问题发现：如图①，当
时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及
的度数，并说明理由：
（2）拓展探究：如图②，当
时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及的度数，并说明理由．
和均为等腰三角形，，．（1）问题发现：如图①，当
时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及的度数，并说明理由：（2）拓展探究：如图②，当
时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及的度数，并说明理由．
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