1 . 综合与实践

（1）【问题发现】
在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：            ．
（2）【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长：            ．

2 . 在中，于点D，点P为射线上任一点（点B除外），连接，将线段绕点P顺时针方向旋转α，，得到，连接．

(1)【观察发现】如图1，当，且时，与的数量关系是        ，与的位置关系是        ．
(2)【猜想证明】如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
(3)【拓展探究】在（2）的条件下，若，，请直接写出的长．

3 . 问题发现：
（1）如图1，已知正方形和正方形，直接写出与之间的数量关系：___________．
拓展探究：
（2）将正方形绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
类比迁移：
（3）如图3，已知菱形和菱形，将菱形绕点A顺时针旋转，连接，请在备用图中画出草图，判定与之间的数量关系是否随着的变化而变化，并说明理由．

7 . 综合与实践
已知在中，，，，为上一点，过点作射线，分别交于点．

(1)观察判断：当为的中点，且，时，如图，______．
(2)类比探究：若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，对比（），的值是否保持不变？请说明理由．
(3)拓展应用：若改变点的位置，且时，如图，直接写出的值（用含的式子表示）

8 . 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．

【证明体验】
如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长．

9 . 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点．若，求的值．
   
(1)尝试探究
在图中，过点作交于点，则 ______， ______．
(2)类比延伸
如图，在原题的条件下，若，求的值用含有的代数式表示 ．试写出解答过程．
(3)拓展迁移
如图，在四边形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点若，，，则的值是______用含、的代数式表示．

10 . 【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，则与的数量关系为______；
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，则______；
【拓展提升】
（3）如图3，和都是直角三角形，，连接，
①求的值；
②延长交于点，交于点，求的度数．