1 . 在矩形中，点O是对角线，的交点，直角的顶点p与O重合，，分别与，边相交于E，F，连接，（为常数）．
   
(1)发现问题：如图1，若，猜想          ．
(2)类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．

2 . 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．

【证明体验】
如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长．

3 . 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点．若，求的值．
   
(1)尝试探究
在图中，过点作交于点，则 ______， ______．
(2)类比延伸
如图，在原题的条件下，若，求的值用含有的代数式表示 ．试写出解答过程．
(3)拓展迁移
如图，在四边形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点若，，，则的值是______用含、的代数式表示．

6 . 在中，，在中，，，连接，，垂足为N，，垂足为M．

(1)观察猜想
图①中，点D，E分别在，上时，的值为___________；的值为___________．
(2)探究证明
如图②，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，连接，，判断问题（1）中的数量关系是否仍然存在，并证明；
(3)拓展延伸
在旋转的过程中，设直线与相交于点F，若，，请直接写出线段的长．

8 . 【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，则与的数量关系为______；
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，则______；
【拓展提升】
（3）如图3，和都是直角三角形，，连接，
①求的值；
②延长交于点，交于点，求的度数．

9 . 已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接．

(1)问题发现：如图1所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是______；
(2)类比探究：如图2所示，若，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3所示，若，，，，当点三点共线时，请直接写出的长．

10 . 如图1，在中，，，点分别是边的中点，连接将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为．

(1)问题发现：当时， ；当时，                   
(2)拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
(3)问题解决：当旋转至三点共线时，直接写出线段的长．