1 . 综合与实践∶
【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．
【探究发现】如图 1，在 中，
（1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则          °，设， 那么      （用含x的式子表示）；
（2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ．
【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形．
（3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长．

2 . 【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则           °，           °．
【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：．
【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为           （用含的代数式表示）．

3 . 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用．
【问题探究】
探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：
探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果．

【形成结论】
（1）        ；
【应用结论】
（2）已知，，分别求与的值；
【变式拓展】
（3）因式分解：

5 . 【阅读思考】如图①，已知，探究、、之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是．
证明过程如下：
如图①，过点作
．
，
，
，
，即．

(1)【理解应用】如图②，已知，求的度数；
(2)【拓展探索】如图③，已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间，点在点的右侧，且，，若，则度数为　　　　？（用含的代数式表示）

6 . ［学习探究］
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．
如图1，两个直角边分别为，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．
解：有三个直角三角形其面积分别为，直角梯形的面积为．由图形可知：．整理得，．．
故结论为：如果用和分别表示直角三角形的两直角边长和斜边，那么．
［类比尝试］
（1）如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求：
①的面积；
②的长．
［拓展探究］
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为，求：
①点和点的坐标．
②点到轴的距离．

7 . 【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）．
【类比解答】
如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______．
【拓展延伸】
（1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．

（2）如图4，中，，，点D在线段上，，，垂足为，与相交于点F．线段与的数量关系为______．（直接写出）

9 . 综合与探究
【操作探索】
在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作：
如图1，已知四边形，，．
（1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由；
（2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明．
【应用拓展】
（3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．

   

10 . 观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为__________________________．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_____________．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若，则_____________．
（2）若x满足，求的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地于点．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．