1 . 如图1，在边长为4的正方形中，点H为上一动点，且，截取，且交线段于M，过M作的垂线交于N．

(1)求证：；
(2)如图2，若点M是的中点，求的周长；
(3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，的周长如何变化？请说明理由．

2 . 已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点．

(1)如图，连接，求证：；
(2)如图，；
若，求的长；
若，求的值；
(3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．

3 . 如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为，则原三角形叫和谐三角形．

(1)如图1，已知是中边上的中线，，，求证：是和谐三角形；
(2)如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐；
(3)如图3，在（1）的条件下，作的外接圆，E是上一点，且满足，连接DE，
①设，，求y关于x的函数表达式；
②当时，求的半径．

4 . 综合与实践
动手操作：
小明同学将一大一小两个三角板和三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，，点E在边上．
   
问题思考：
(1)如图1，延长交于点F，求的长．
问题探究：
(2)如图2，若将图1中的绕着点B顺时针方向旋转，连接，试探究与是否相似，请说明理由．
实践探究：
(3)在三角板旋转的过程中，当点C，E，D在同一条直线上，且点E在的上方时，请直接写出点D到直线的距离．

5 . 如图，在正方形中，，延长至点M，使，连接，点E，F分别在边上运动（不与端点重合），且，连接，分别交于点H，G，连接．现有下列结论：①；②；③连接，当时，；④当点H到的距离最短时，．其中正确的是________．（填序号）

   

6 . 如图，在矩形中， ，，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H．给出下列判断：①；②；③当时，的长度是 ④线段长度的最小值是 ；⑤当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是________．（写出所有正确判断的序号）

   

7 . 中，，于D，于E，交于F

(1)求证：；
(2)求（用含m的代数式表示）；
(3)当时，求的最大值．

8 . 如图，四边形内接于，对角线交于点E且为直径，延长交于点F，连接，若，请回答下列问题：

   

(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)设，与四边形的面积之比为h，请求出h关于t的函数关系式．

9 . 如图1，在△ABC中，，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足，过点E作交AB于点F，垂足为点G．

                 

(1)求证：；
(2)延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求的值；
(3)以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．

10 . 已知菱形，经过A、B、D三点，且与相交于点E．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，与相交于点H，连接，且，的半径长为，与相交于点F，求线段的长．