2 . 在中，，．点D在边上，且，交边于点F，连接．

（1）特例发现：如图1，当时，①求证：；②推断：_________．；
（2）探究证明：如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作的垂线，交于点P，交于点K，若，求的长．

3 . 阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，在△ABC中，BA=BC，．点F在AC上，点E在BF上，．点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180゜．探究线段AD与AE的数量关系并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠CAD与∠EAB相等．”
小亮：“通过观察和度量，发现∠FAE与∠D也相等．”
小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段AD与AE的数量关系．”

老师：“保留原题条件，延长图1中的AE，与BC相交于点H(如图2)，若知道DH与AH的数量关系，可以求出的值．”
（1）求证：∠CAD=∠EAB；
（2）求的值（用含k的式子表示）；
（3）如图2，若，则的值为________（用含k的式子表示）．
   

4 . 在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD．
（2）如图1，在（1）的条件下，若CD＝2BD，S_△ABD＝10，求△BCE的面积．
（3）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，猜想线段AB、AC、AN之间的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

5 . 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，①试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
②若AB＝8，BD＝5，直接写出线段AG的长　 　．

6 . 已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点.

（1）如图1，若四边形是矩形，且，求证：；
（2）如图2，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若，，，，请直接写出的值.

7 . 【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．
其符号语言是：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD²＝AD•BD，（2）AC²＝AB•AD，（3）BC²＝AB•BD；请你证明定理中的结论（2）BC²＝AB•BD．
【结论运用】
（2）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE＝2，求OF的长．

8 . 如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD=PB，连接BD．
（1）求证：PC∥BD；
（2）若⊙O的半径为2，∠ABP=60°，求CP的长；
（3）随着点P的运动，的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明．

9 . 如图，正方形ABCD的边长是，点P是对角线AC上的一个点（不与A，C两点重合），连接BP，并将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BP′，连接PP′，CP′，PP′与BC相交于点E．

（1）求证：△BAP≌△BCP′；
（2）探究：线段PA，PC，PB之间满足什么数量关系，请写出结论并证明；
（3）若PA＜PC，当PB＝时， 求BE的长．

10 . 如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是直径，分别延长AB、CD相交于点E，AC=AE,过点D作DF∥BC于点F.
求证：（1）
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若M是的中点，连接MD交弦AB于点H，若，证明：