1 . 现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减
（3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论

2 . 如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．
①对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
(1)记，求证：为型函数；
(2)设，记，若是型函数，求的取值范围；
(3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．

3 . 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质．
(1)若函数具有性质，求的值
(2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点．

4 . 已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足.
（1）求与的解析式；
（2）若定义在实数集上的以2为最小正周期的周期函数，当时，，试求在闭区间上的表达式，并证明在闭区间上单调递减；
（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围.

5 . 已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足．
（1）求与的解析式；
（2）求证：在区间上单调递增；并求在区间的反函数；
（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围．

6 . 已知函数，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.
（1）判断函数在区间内是否具有唯一零点，说明理由：
（2）已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点.
（3）若函数在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围.

7 . 设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.