1 . 已知函数．
(1)求证：函数是定义域为的奇函数；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明．

2 . 已知a，b都是正实数，
(1)试比较与的大小，并证明；
(2)当时，求证：．

3 . 证明下列不等式：
(1)已知，求证：；
(2)已知，求证：.

4 . 已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(2)定义证明函数在上是增函数；
(3)写出函数在上的单调性（结论不要求证明）.

5 . 问题：已知均为正实数，且，求证：．
证明：
，
当且仅当时，等号成立．
学习上述解法并解决下列问题：
(1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由；
(2)利用（1）的结论，求的最小值．

6 . 已知函数的图像过点．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
(3)求证：函数在上是减函数；

7 . （1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假设全部溶解），糖水变甜了.这一事实可以表示为不等式，证明这个不等式成立.
（2）已知都是正数，求证；

8 . 证明：
(1)若，求证：；
(2)若，求证：.

9 . 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”．
(1)判断集合是否是“平衡集”并说明理由；
(2)求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；
(3)证明：四元集合，其中不可能是“平衡集”．

10 . （1）为实数，求证：
（2）用分析法证明：