1 . 对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数.

2 . 已知函数，为函数的反函数
(1)讨论在上的单调性，并用定义证明；
(2)设，求证：有且仅有一个零点，且.

4 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

5 . 集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．
(1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明是奇数．

6 . 对任意正整数n，记集合，．，，若对任意都有，则记．
(1)写出集合和；
(2)证明：对任意，存在，使得；
(3)设集合．求证：中的元素个数是完全平方数．

7 . 已知集合为非空数集，定义.
(1)若集合，请证明，并直接写出集合；
(2)若且，集合，求的最小值；
(3)若集合，且，求证：.

8 . 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.
(1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；
(2)若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；
(3)已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.

9 . 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记；
(1)求实数、的值；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的范围；
(3)对于定义在上的函数，设，，用任意的将划分为个小区间，其中，若存在一个常数，使得恒成立，则称函数为上的有界变差函数；
①试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值；
②写出是在上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例；（不要求证明）

10 . 对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”.
(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②；
(2)求证：当时，是“3级周天函数”；
(3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.