1 . 已知集合,设整除或整除,令表示集合所含元素的个数．
（1）写出的值;
（2）当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明.

2 . 设集合，则满足条件的集合的个数是（       ）.

A．1

B．3

C．2

D．4

3 . 定义函数（其中为自变量，为常数）.
（Ⅰ）若当时，函数的最小值为-1，求实数的值；
（Ⅱ）设全集，已知集合，，若集合，满足，求实数的取值范围.

4 . 已知数集具有性质P；对任意的i，，与两数中至少有一个属于A.
（1）分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：，.

5 . 设集合中的所有点围成的平面区域的面积为S，则S的最小值为________.

6 . 某小学五年级班共有名同学,在某次摸底测试中语文人优秀,数学人优秀,两门都不是优秀者人,则两门都是优秀同学共有______人.

7 . 已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.

8 . 设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（   ）

A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③

9 . 设集合 ，如果存在的子集，，同时满足如下三个条件：
①；
②，，两两交集为空集；
③，则称集合具有性质.
（Ⅰ） 已知集合，请判断集合是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）设集合，求证：具有性质的集合有无穷多个.

10 . 若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②；
③；
④.
其中是集合X上的拓扑的集合的序号是________.