1 . 设，求证：
（1）；
（2）．

2 . 函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③.
（1）求的值；
（2）求证：在上是单调增函数；
（3）若，且，求证：.

3 . 设是定义在上的函数，若存在使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.
（1）判断下列函数是否为单峰函数：
①，；
②，；
③，；
④，.
对任意的上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）.
（2）证明：对任意的，，，若，则为含峰区间；若，则含峰区间；
（3）对给定的，证明：存在，，满足，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于.

4 . 已知函数f（x）的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”．
（1）证明函数f（x）＝lg（x²+1）+1是“正函数”；
（2）如果函数不是“正函数”，求实数a的取值范围；
（3）如果函数f（x）＝ax²+ax+2是“正函数”，求实数a的取值范围．

5 . 函数的定义域为，且对一切，都有，当时，有.
（1）求的值；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）若，求在上的值域.

6 . 已知函数对任意实数恒有，且当时，。
(1)判断的奇偶性；
(2)求证：是R上的减函数.

7 . 已知定义在上的函数为偶函数，当时，.
（1）写出的表达式；
（2）用定义证明：在区间上是增函数.

8 . [“数学抽象、逻辑推理”素养]设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．求证：给定一个上的单峰函数，对任意的，，且，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间．

9 . 证明：
（1）若，则.
（2）若，则.

10 . 是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断函数的单调性（不需证明），并求使成立的实数的取值范围.