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1 . 已知为实数集的一个非空子集,称是一个加法群,如果连同其上的加法运算满足如下四条性质:
①,;
②,;
③,,使得;
④,,使得.
例如是一个无限元加法群,是一个单元素加法群.
(1)令,,分别判断,是否为加法群,并说明理由;
(2)已知非空集合,并且,有,求证:是一个加法群;
(3)已知非空集合,并且,有,求证:存在,使得.
①,;
②,;
③,,使得;
④,,使得.
例如是一个无限元加法群,是一个单元素加法群.
(1)令,,分别判断,是否为加法群,并说明理由;
(2)已知非空集合,并且,有,求证:是一个加法群;
(3)已知非空集合,并且,有,求证:存在,使得.
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2 . 定义1:对于一个数集,定义一种运算,对任意都有,则称集合关于运算是封闭的(例如:自然数集对于加法运算是封闭的).
定义2:对于一个数集,若存在一个元素,使得任意,满足,则称为集合中的零元,若存在一个元素,使得任意,满足,则称为集合中的单位元(例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元).
定义3:对于一个数集,如果满足下列关系:
①有零元和单位元;
②关于加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都是封闭的;
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律,且满足乘法对加法的分配律,则称这个数集是一个数域.
(1)指出常用数集中,那些数集可以构成数域(不需要证明);
(2)已知集合,证明:集合关于乘法运算是封闭的;
(3)已知集合,证明:集合是一个数域.
定义2:对于一个数集,若存在一个元素,使得任意,满足,则称为集合中的零元,若存在一个元素,使得任意,满足,则称为集合中的单位元(例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元).
定义3:对于一个数集,如果满足下列关系:
①有零元和单位元;
②关于加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都是封闭的;
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律,且满足乘法对加法的分配律,则称这个数集是一个数域.
(1)指出常用数集中,那些数集可以构成数域(不需要证明);
(2)已知集合,证明:集合关于乘法运算是封闭的;
(3)已知集合,证明:集合是一个数域.
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解题方法
3 . 设,若非空集合同时满足以下4个条件,则称是“无和划分”:
①;
②;
③,且中的最小元素大于中的最小元素;
④,必有.
(1)若,判断是否是“无和划分”,并说明理由.
(2)已知是“无和划分”().
①证明:对于任意,都有;
②若存在,使得,记,证明:中的所有奇数都属于.
①;
②;
③,且中的最小元素大于中的最小元素;
④,必有.
(1)若,判断是否是“无和划分”,并说明理由.
(2)已知是“无和划分”().
①证明:对于任意,都有;
②若存在,使得,记,证明:中的所有奇数都属于.
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2024-06-10更新
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102次组卷
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2卷引用:北京市丰台区2023-2024学年高一上学期期末练习数学试卷
解题方法
4 . 对于数集,,定义向量集,若对任意,存在使得,则称X是“对称的”.
(1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”(不需要说明理由);
(2)若,且是“对称的”,求的值;
(3)若“对称的”数集,满足:,,.求证:.
(1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”(不需要说明理由);
(2)若,且是“对称的”,求的值;
(3)若“对称的”数集,满足:,,.求证:.
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解题方法
5 . 设(为正整数),对任意的,,定义
(1)当时,,,求;
(2)当时,集合,对于任意,,均为偶数,求A中元素个数的最大值;
(3)集合,对于任意,,,均有,求A中元素个数的最大值.
(1)当时,,,求;
(2)当时,集合,对于任意,,均为偶数,求A中元素个数的最大值;
(3)集合,对于任意,,,均有,求A中元素个数的最大值.
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解题方法
6 . 对于在区间上有意义的函数,若满足对任意的,,有恒成立,则称在上是“友好”的,否则就称在上是“不友好”的.现有函数.
(1)当时,判断函数在上是否“友好”;
(2)若函数在区间上是“友好”的,求实数的取值范围.
(1)当时,判断函数在上是否“友好”;
(2)若函数在区间上是“友好”的,求实数的取值范围.
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7 . 已知函数().
(1)若在上的最小值为,求a的值;
(2)证明:存在唯一零点且满足.
(1)若在上的最小值为,求a的值;
(2)证明:存在唯一零点且满足.
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8 . 已知函数和的定义域分别为和,若对任意,恰好存在个不同的实数,使得(其中),则称为的“重覆盖函数”.
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”?请说明理由;
(2)若,为,的“2重覆盖函数”,求实数的取值范围;
(3)函数表示不超过的最大整数,如.若为的“2024重覆盖函数”,求正实数的取值范围.
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”?请说明理由;
(2)若,为,的“2重覆盖函数”,求实数的取值范围;
(3)函数表示不超过的最大整数,如.若为的“2024重覆盖函数”,求正实数的取值范围.
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9 . 设非空数集M,对于M中的任意两个元素,如果满足:①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商(分母不为零)也属于M.定义:满足条件①②③的数集M为数环(即数环对于加、减、乘运算封闭);满足④的数环M为数域(即数域对于加、减、乘、除运算封闭).
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环,假如该集合是数环,那么它是不是数域(无需说明理由);
(2)若M是一个数环,证明:;若S是一个数域,证明:;
(3)设,证明A是数域.
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环,假如该集合是数环,那么它是不是数域(无需说明理由);
(2)若M是一个数环,证明:;若S是一个数域,证明:;
(3)设,证明A是数域.
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10 . 对于正整数集合(),如果任意去掉其中一个元素之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“可分集合”;
(1)判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程);
(2)求证:四个元素的集合一定不是“可分集合”;
(3)若集合是“可分集合”,证明:为奇数.
(1)判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程);
(2)求证:四个元素的集合一定不是“可分集合”;
(3)若集合是“可分集合”,证明:为奇数.
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