1 . 已知函数.
(1)讨论函数的奇偶性（直接写出结论，无需证明）；
(2)若，求证：函数在区间上是增函数；
(3)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.

2 . 定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)判断在上的单调性，不需证明；
(3)解不等式．

3 . 已知二次函数满足．
(1)求，的值；
(2)求证：的图像关于直线对称；
(3)用单调性定义证明：函数在区间上是增函数；
(4)若函数是奇函数，当时，．
（i）直接写出的单调递减区间为_________；
（ii）求出的解析式．

4 . 已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)求证：函数在为增函数.

5 . 已知函数对任意x，，总有，且当时，都有成立，且.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）利用函数的单调性定义证明在R上单调递减；
（3）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围.

6 . 已知函数是奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)若，，且．求证．

7 . 设函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)求证：.

8 . 设对集合上的任意两相异实数，，若恒成立，则称在上优于；若恒成立，则称在上严格优于.
（1）设在上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；
（2）若在上严格优于，，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；
（3）设函数，，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.

9 . 已知函数对任意，总有，且当时， ，，
(Ⅰ)求证：函数是奇函数；
(Ⅱ)利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减；
(Ⅲ)若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

10 . 设，函数为常数，．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若．
①判断并证明函数的单调性；
②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．