1 . 我国南北朝时期的数学家祖暅(杰出数学家祖冲之的儿子)，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线
，直线
为曲线
在点
处的切线.如图所示，阴影部分为曲线､直线以及
轴所围成的平面图形，记该平面图形绕
轴旋转一周所得的几何体为
.过
(
)作的水平截面，所得截面面积
(用表示)，试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为___________ .
，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线､直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.过()作的水平截面，所得截面面积(用表示)，试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为
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2 . 已知
，且
，则
的最小值为___________ ．
，且，则的最小值为
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2021-06-08更新
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1231次组卷
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3卷引用：天津市南大奥宇学校2021届高三下学期高考模拟数学试题
天津市南大奥宇学校2021届高三下学期高考模拟数学试题（已下线）2.2 直线与圆的位置关系（1）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）浙江师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
名校
解题方法
3 . 已知正三棱锥
的所有棱长均为1，
，
，
分别为棱
，
，
上靠近点
的三等分点，则该正三棱锥的外接球被平面
所截的截面圆的周长为___________ .
的所有棱长均为1，，，分别为棱，，上靠近点的三等分点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面圆的周长为
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2021-06-04更新
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1325次组卷
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5卷引用：江苏省南通市学科基地2021届高三下学期高考全真模拟(一)数学试题
江苏省南通市学科基地2021届高三下学期高考全真模拟(一)数学试题（已下线）考点突破08 立体几何初步-备战2022年高考数学一轮复习培优提升精炼（新高考地区专用）（已下线）查补易混易错点05 空间向量与立体几何-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）湖北省武汉市第四十九中学2024届高三上学期九月调考模拟数学试题（一）江西省吉安市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题
名校
解题方法
4 . 半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为___________ ；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为___________ .
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2021-06-03更新
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1617次组卷
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4卷引用：安徽省合肥市第一中学2021届高三下学期6月最后一卷理科数学试题
安徽省合肥市第一中学2021届高三下学期6月最后一卷理科数学试题湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一下学期期中模拟检测数学试题（已下线）第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (练）广东省韶关市广东北江实验中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
名校
5 . 在空间直角坐标系中，点
满足：
，平面
过点
，且平面的一个法向量
，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于__________ .
满足：，平面过点，且平面的一个法向量，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于
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2021-06-03更新
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1165次组卷
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7卷引用：上海市格致中学2021届高三三模数学试题
上海市格致中学2021届高三三模数学试题（已下线）第一章 空间向量与立体几何（提分小卷）-【单元测试】2021-2022学年高二数学尖子生选拔卷（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第三章《空间向量与立体几何》章节复习巩固（基础练+提高练）-2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）（已下线）3.2 立体几何中的向量方法（基础练+提高练）-2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）（已下线）考向22 空间几何体-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）（已下线）专题16 空间向量及其应用（模拟练）（已下线）第20讲 空间向量与立体几何-2
20-21高二下·浙江·期末
6 . 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为
和
的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为________ 
（用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面直线所成的角、二面角中最小的角的余弦值为________ ．
和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为（用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面直线所成的角、二面角中最小的角的余弦值为
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2021-06-03更新
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516次组卷
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4卷引用：【新东方】高中数学20210527-012【2021】【高二下】
（已下线）【新东方】高中数学20210527-012【2021】【高二下】浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 章节测试 第13章 立体几何初步（已下线）第八章 立体几何初步 单元复习提升（易错与拓展）（1）-单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）
名校
7 . 在直角三角形
中，
，
是斜边
的中点，将
沿直线
翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得
，则
边长的最大值为______ .
中，，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则边长的最大值为
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2021-06-02更新
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852次组卷
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5卷引用：四川省德阳市2021届高三模数学（理）试题
四川省德阳市2021届高三模数学（理）试题北京市北京理工大学附属中学2021-2022学年高二10月数学月考试题第十一章 立体几何初步单元测试卷（已下线）考向34 空间中的垂直关系（已下线）第33讲 立体几何中的范围与最值问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练
名校
8 . 已知三棱锥的外接球
的半径为
，
为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为
，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是______ ．
的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是
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2021-05-30更新
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1067次组卷
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8卷引用：安徽省宿州市2021届高三下学期第三次模拟考试文科数学试题
安徽省宿州市2021届高三下学期第三次模拟考试文科数学试题（已下线）专题08立体几何中的截面、交线、最值问题（讲、练）（文科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）山西省山西大学附属中学校2022届高三上学期8月模块诊断数学（理）试题（已下线）专题09立体几何中的截面、交线、最值问题（讲、练）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）江西师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学（理）试题（已下线）专题8-3 立体几何压轴小题：动点与轨迹、距离最值-1江西省宜丰中学、宜春一中2022-2023学年高二（创新班）下学期第一次联考数学试题（已下线）专题18 空间几何题综合问题（体积、面积、角度、距离、轨迹等）（选填题）-1
9 . 美丽的广州塔，以其窈窕的身姿被广州人民亲昵地称为“小蛮腰”，它的整体轮廓可以看成是双曲线的一部分绕虚轴旋转得到的．以下是研究广州塔的一个数学题型：将曲线
与轴、
围成的部分绕轴旋转一周，得到一旋转体，直线
绕轴旋转一周形成的平面截此旋转体所得截面圆的面积为______ ．根据祖暅原理 ，构造适当的一个或多个 几何体，求出此旋转体的体积为______ ．
（提示：祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）
与轴、围成的部分绕轴旋转一周，得到一旋转体，直线绕轴旋转一周形成的平面截此旋转体所得截面圆的面积为（提示：祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）
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解题方法
10 . 在长方体
中，
，点
为线段
上一点，且
平面
，则三棱锥
的外接球体积为___________ .
中，，点为线段上一点，且平面，则三棱锥的外接球体积为
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